Tests d'hypothèses courants

Marc HAUCHEMAILLE

Date: 1 October 2006

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I) Hypothèses générales :

• On considère deux séries de mesures de la même grandeur. La première séire comporte $n_1$ mesures dont la moyenne arithmétique est $x_{1}$, l'estimateur de variance $s_{1}^{2}$. La deuxième série a un effectif $n_{2}$, une moyenne $x_{2}$ et un estimateur de variance $s_{1}^{2}$.

• Toutes les mesures sont indépendantes, suivent toutes la même loi de probabilité de GAUSS-LAPLACE $\mathcal{N}(m,\sigma)$.

I) Comparaison de deux variances :

1) Théorème :

Dans l'hypothèse $H_{0}$ où les variances sur les deux séries sont identiques, le rapport $s_{1}^{2}/s_{2}^{2}$ est une variable de Fisher-Snedecor à $n_{1}-1$ et $n_{2}-1$ ddl.

vraie alors le rapport $s_{1}^{2}/s_{2}^:{2}$ a une probabilité $1-\alpha$ de tomber dans l'intervalle

$$\left[F_{n_{1}-1;n_{2}-1} \left(1-\frac{\alpha}{2}\right); F_{n_{1}-1;n_{2}-1} \left(\frac{\alpha}{2}\right)\right]$$

où $F_{n_{1}-1;n_{2}-1}(\alpha)$ est l'abscisse àdroite de laquelle la surface sous la courbe de densité de Fisher vaut $\alpha$.

On considère que si le rapport tombe en dehors de cet intervalle, on peut rejter l'hypotèse $H_{0}$.

Si le rapport tombe dans l'intervalle, on accepte l'hypothèse $H_{0}$ au niveau de confiance $1-\alpha$.

Dans ce cas, on estime la variance commune à toutes les mesures par le rapport :

$$s^{2}=\frac{(n_{1}-1)s_{1}^{2}+(n_{2}-1)s^{2}} {n_{1}-1+n_{2}-1}$$

2) Exemple :

$s_{1}^{2} = 2,09023\qquad n_{1}=12\qquad \,\overline{\strut{x_1}}\,=10.5$

$s_{2}^{2}= 2,74234\qquad n_{2}=13\qquad \,\overline{\strut{x_1}}\,=10.7$

Peut-on accepter au risque de 0,1 l'hypothèse $\sigma_{1}=\sigma_{2}$ ?

On a : $\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}}\simeq 0,76$

et $F_{11;12}(0,05)\simeq2,7173\qquad F_{11;12}(0,95)\simeq0,35874$

On en déduit que : $F_{11;12}(0.95)\leqslant \frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} \leqslant F_{11;12}(0.05)$

Cette inégalité prouve que l'on peut accepter l'hypothèse $\sigma_{1}=\sigma_{2}$ au niveau de confiance de 0,9 .

On en déduit une nouvelle estimation de $\sigma$

$s^{2}\simeq\frac{11\times2,09023+12\times2,74234}{11+12} \simeq2,4305$

On aurait rejeté cette hypothèse si le rapport était tombé en dehors de cet intervalle.

On remarquera que si l'hypothèse $H_{0}$ est acceptable au risque de 0,1 elle l'est nécessairement à celui de 0,05.

II) Comparaison d'une moyenne à une constante

1) Théorème : Dans l'hypothèse où l'espérance est égale à une valeur donné $x_{0}$, la variable

$$t = \frac{\,\overline{\strut{X}}\,-x_{0}} {s/\sqrt{n}}$$

est une variable de Student à $n-1$ ddl.

2) Exemple

Une série de 11 mesure aboutit à $\,\overline{\strut{x}}\,=20,5$ avec une estimation de écart-type égale à $s=0,1$. La valeur prévue était 20. Peut-on admettre quand même que l'espérance est égale à 20 ?

Si l'espérance vaut 20, le rapport

$$t = \frac{\,\overline{\strut{X}}\,-20}{0,1/\sqrt{11}}$$

est une variable de Student à 10 ddl dont la valeur est ici égale à 16,58. Elle est incompatible avec l'intervalle bilatéral centré de la variable de Student à 10 ddl qui est $[-3,17\;;\;+3,17]$ au niveau de confiance de 99%. On remarque que si on rejette l'hypothèse d'égalité de l'espérance avec la valeur 20 au niveau de confiance de 99%, on la rejettera au niveau de 95%.

III) Comparaison de deux moyennes :

1) Théorème :

Dans l'hypothèse d'égalité des espérances $m_{1}$ et $m_{2}$, ainsi que des variances, le rapport

$$t = \frac{\,\overline{\strut{X}}\,_{1}-\,\overline{\strut{X}}\,_{2}} {s\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$$

est une variable de Student à $n_{1}-1+n_{2}-1$ degrés de liberté.

2) Exemple :

Testons l'égalité des espérances des deux séries précédentes au niveau de confiance de 0,90

$$t = \frac{\,\overline{\strut{X}}\,_{1}-\,\overline{\strut{X}}\,_{... ... \frac{10,5-10,7} {\sqrt{2,4305\left(\frac{1}{12}+\frac{1}{13}\right)}}=-0,307$$

Or l'intervalle bilatéral centré au niveau de confiance de 0,90 pour une variable de Student à 23 ddl est : $[-1,7138\;;\;+1,7138]$.

Puisque le rapport de Student tombe dans cet intervalle, on admet l'hypothèse d'égalité des espérances au risque de 10%.