NOTIONS SUCCINTES SUR LES SUITES ET SERIES

Marc HAUCHEMAILLE

Date: 19 October 2006

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1. Suite numérique :
   1. Définition :

      On appelle suit numérique toute application d'une partie de $\mathbb{N}$ (généralement $\mathbb{N}$) dans $\mathbb{R}$.

   2. Exemple :

      La suite définie par :

      $n \neq 0 \Longrightarrow u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$

      Elle est défnie sur $\mathbb{N}^{\ast}$ et les quatre premiers termes sont :

      $$u_{1}=-1;\qquad u_{2}=\frac{1}{4};\qquad u_{3}=\frac{-1}{8};\qquad u_{4}=\frac{1}{16}$$

      Elle n'est ni croissante ni décroissante, elle tend vers 0.

      La suite définie par : $\left\lbrace \begin{array}{l@{\ =\ }l} u_{0} & 1 \\ u_{n+1} & \frac{u_{n}}{3}+\frac{1}{2} \end{array} \right.$

      Dans ce cas, les valeurs approchées des cinq premiers termes sont :

      $$0,833333\quad0,777778\quad0,759259\quad0,753086\quad0,751029$$

      On dit que cette suite est définie par une relation de récurrence, c'est-à-dire que chaque terme est définie en fonction d'un ou plusieurs termes précédents.

   3. Limite d'une suite :

      On dit que la suite $(u_{n})$ tend vers le réel ou complexe l lorsque

      Pour tout intervalle ouvert $\mathcal{I}$ contenant le nombre l, il existe un rang $n_{0}$ au dela duquel tous les $u_{n}$ sont dans $\mathcal{I}$.

   4. Théorèmes usuels :

      Si $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = l$, alors la suite de terme général $f(n)$ tend aussi vers l.

      La limite, si elle existe, est unique. On ne peut pas dire, par exemple, que la suite $u_{n}=(-1)^{n}$ tend à la fois vers 1 et vers -1.: Limites d'une somme , d'un produit, etc ...

   5. Théprème du point fixe

      Soit f une fonction continue dont la courbe possède des points communs la droite d'équation $y=x$. Si la suite $u_{n}=f(u_{n-1})$ est convergente, elle converge nécessairement vers une solution de l'équation $f(x)=x$.

   6. Interpretation graphique du théorème du point fixe :

      Soit la suite de terme général $u_{n}=f(u_{n-1})$, où $\it f$ est une fonction continue. Construire la droite $(D)$ ayant pour équation $y=x$ ainsi que la courbe ayant pour équation $y=f(x)$.

      • Choisir une valeur $u_{0}$ sur l'axe des abscisses.
      • Construire le point $M_{0}(u_{0},u_{1})$
      • Déplacez-vous parallèlement à l'axe des abscisses depuis $M_{0}(u_{0},u_{1})$ jusqu'à la droite $(D)$. Le point ainsi obtenu a pour coordonnées $(u_{1},u_{1})$
      • Construire le point $M_{1}(u_{1},u_{2})$
      • Construire $M_{2}(u_{2},u_{3})$, etc.
      On appliquera l'algorithme ci-dessus à la demi parabole d'équation $y=\sqrt{x}$ et on vérifiera le résultat obtenu sur une calculatrice.
   7. Etude générale des suites $u_{n+1}=a\,u_{n}+b$ a et b sont des constantes, avec $a \neq 1$

      Posons $v_{n}=u_{n}-\frac{b}{1-a}$ On se ramène alors à une suite géométrique.

   8. Suite de Cauchy :

      Une suite de Cauchy est une suite $(u_{n})$ telle que pour tout $\epsilon$ positif, il existe un rang au dela duquel l'é cart entre deux termes queconque est inférieur à $\epsilon$.

      Il est évident que tout suite réelle ou complexe convergente est une suite de Cauchy. Il est beaucoup moins évident que la réciproque est vraie : toute suite de Cauchy converge dans  $\mathbb{R}$. On dit que $\mathbb{R}$ est un espace complet

   9. Suite de fonctions :

      Il s'agit d'une suite dont le terme géral est de la forme $u_{n}(x)$. Par exemple les fonctions de la forme $u_{n}(x)=\sin nx$

2. Séries numériques
   1. Définition :

      Soit la suite numérique de terme général $u_{n}$ et la somme : $S_{n} = \sum\limits_{k=0}^{k=n}u_{k}$

      On dit que $S_{n}$ est la série associée à la suite de terme général $u_{n}$.

   2. Exemples :
      • $U_{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$ (série harmonique)
      • $V_{n}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+ \cdots+\frac{1}{n^{2}}$ (séries de Riemann).

   3. Condition nécessaire et suffisante de convergence :

      Il faut et il suffit que la série soit une suite de Cauchy. Cela se traduit par le fait que, pour tout couple $(n,p)$ d'entiers naturels positifs, la suite $S_{n+p}-S_{n}$ tend vers 0.

      Application : En minorant $S_{2n}-S_{n}$, montrer que la série harmonique est divergente.

   4. Condition nécessaire de convergence

      Il est nécessaire que le terme général tende vers 0.

      Démonstration : puisque $S_{n}$ converge, c'est une suite de Cauchy. Donc la différence $S_{n+p}-S_{n}$ tend vers 0 lorsque n tend vers $+\infty$, en particulier si $p=1$. Il en résulte que $u_{n}=S_{n+1}-S_{n}$ tend vers 0.

   5. Théorème et définition :

      Si la série de terme général $\left\vert u_{n}\right\vert$ converge alors la série de terme général $u_{n}$ est convergente. On dit que la série de terme général $u_{n}$ est absolument convergente.

3. Séries à termes positifs
   1. Critère de convergence de Cauchy

      Si $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[n]{u_{n}} = l$

      • Si $l > 1$ alors la série diverge.
      • Si $l < 1$ alors la série converge.

      Si la limite est égale à 1, on ne peut pas conclure de façon générale.

   2. Critère de convergence de D'Alembert

      Si $\lim\limits_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_{n}} = l$

      • Si $l > 1$ alors la série diverge.
      • Si $l < 1$ alors la série converge.
      Si la limite est égale à 1, on ne peut pas conclure de façon générale.

   3. Séries à termes positifs
      • Si à partir d'un certain rang, $u_{n} \leqslant v_{n}$ alors la divergence de la série $u_{n}$ implique celle de la série $v_{n}$ et la convergence de la série $v_{n}$ implique celle de la série $u_{n}$.

      • Si, á partir d'un certain rang, $a \leqslant \frac{u_{n}}{v_{n}} \leqslant b$ alors les deux séries sont de même nature.

      • Si $\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{u_{n}}{v_{n}} = A$, A étant une constante non nulle, alors les série de terme général $u_{n}$ et $v_{n}$ sont de même nature.

        
        Application à la comparaison avec une série de Riemann :

        s'il existe $\alpha > 1$ et $A\neq 0$ tels que $\lim\limits_{n \to +\infty} n^{\alpha}\,u_{n}=A$ alors la série de terme général $u_{n}$ converge.

      • Théorème de Cauchy (comparaison avec une inté grale) :

        Soit f une fonction continue sur $[\,1\;;\;+\infty\,[$. La série de terme général $f(n)$ et l'intégrale $\int\limits_{1}^{+\infty}f(t)\,dt$ sont de même nature : toute les deux convergentes ou toutes les deux divergentes.

        
        Application aux séries de Riemann :

        La série de terme général $\frac{1}{n^{\alpha}}$ est convergente si et seulement si l'intégrale $\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{dt}{t^{\alpha}}$ converge, c'est-à-dire pour $\alpha > 1$.

4. EXERCICES

   Dans tout ce qui suit, le symbole Log désigne la fonction logarithme népérien.

   • Convergence de $\sum\limits_{k=2}^{+\infty}\,\textrm{Log}\,k$

     Rep: puisque $u_{n}$ ne tend par 0 lorsque n tend vers l'infini, la série diverge nécessairement.

   • Convergence de $\sum\limits_{k=2}^{+\infty}\frac{1}{\,\textrm{Log}\,k}$

     Rep: $\frac{1}{\,\textrm{Log}\,n} > \frac{1}{n}$ Donc le terme général est minoré par celui d'une série de Riemann divergente, la série est donc divergente.

   • Convergence de $\sum\limits_{k=1}^{+\infty}\frac{x^{k}}{n^{k}}$.

     On reconnaît instantanément la série géomérique de raison $\frac{x}{n}$. Elle converge si le rapport $\frac{x}{n}$ est compris dans $[\,-1\;;\;+1[$

   • Convergence de la suite de terme général $u_n=\frac{\sin nx}{n^{2}}$. On démontrera que cette suite est absolument convergente en majorant $\left\vert u_{n}(x)\right\vert$ par le terme général d'une série positive convergente connue.

     On a évidemment : $\frac{\sin nx}{n^{2}}\leqslant \frac{1}{n^{2}}$ Or la série de Riemann en ${1}{n^{2}}$ qui est convergente. Il en résulte la convergence de la série.

   • Soit $S_{n}=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+ \cdots+\frac{1}{n(n+1)}$

     Etablir la convergence de la série puis, en décomposant $S_{n}$ en éléments simples, trouver $\lim\limits_{n\to+\infty}S_{n}$.

     Rep: au voisinage de $+\infty$, on a : $u_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\left(\frac{1}{n^{2}}\right)\, \left(\frac{1}{1+ 1/n^{2}}\right)\backsim \frac{1}{n^{2}}$

   • Démontrer que $\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{x^{k}}{k!}$ est convergente pour tout x de I R. On pose $S(x)=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}\frac{x^{k}}{k!}$

     En admettant que l'on puisse dériver terme à terme cette somme infinie, prouver que $S(x)=S'(x)$ et en déduire l'expression de la somme infinie $S(x)$.

   • On a $\left\vert u_n\right\vert \leqslant \frac{1}{n^{2}}$. Or la série de Riemann en $\frac{1}{n^{2}}$ converge. Il en résulte que

   • On rappelle que, au voisinage de 0, $\,\textrm{Log}\,(1+h)=h-\frac{h^{2}}{2}+\frac{h^{3}}{3}+h^{3}\epsilon(h) \quad\textrm{avec}\quad\lim\limits_{h\to0}\epsilon(h)=0$
     Déterminer la convergence de la série de terme général $u_{n}=1-n\,\textrm{Log}\,\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)$. On essaiera de comparer avec le terme général d'une série de Riemann.

     
     On a :

     ${\displaystyle\,\textrm{Log}\,\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)= \,\textrm{Log}\,... ...}}-\frac{1}{24n^{3}} \right)+\frac{1}{n^3}\epsilon_{1}\left(\frac{1}{n}\right)$

     D'où : $\,\textrm{Log}\,\left(\frac{2n+1}{2n-1}\right)= \frac{1}{n}+\frac{1}{12n^{3}}+... ... u_{n}=-\frac{1}{12n^{2}}- \frac{1}{n^{2}}\epsilon_{1}\left(\frac{1}{n}\right)$

     Donc, au voisinage de $+\infty$, on a : $u_{n}\backsim -\frac{1}{12n^{2}}$. Or la série de Riemann en $\frac{1}{n^{2}}$ converge, donc la série de terme général $u_{n}$ converge.

   • Soit f une fonction positive, continue et décroissante sur l'intervalle $\left]\,0\;;\;+\infty\,\right[$