REVISIONS EXAMEN ALGEBRE-ANALYSE DUT CHIMIE 2007 Retour à la page d'accueil

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EXERCICE I

Soit f une fonction telle que : $\forall k \in \mathbb{Z}\quad f\left(k+\frac{1}{2}\right)=0$ et dont la courbe est représentée ci-dessous :

Figure 1: courbe de la fonction f

1) Lire sur la courbe la période T de la fonction f et en déduire sa pulsation $\omega$.

2) Calculer les intégrales : $\int\limits_{-1}^{+1}f(t) dt, \qquad\int\limits_{-1}^{+1}f(t) \sin(n\omega t) dt$

3) En déduire que : $f(t)=\frac{2}{\pi}\left(-\sin\pi t +\frac{1}{2}\sin2\pi t-\frac{1}{3}\sin3\pi t +\frac{1}{7}\sin7\pi t+\cdots\cdots\right)$

4) En choisissant une valeur convenable de t, trouver la limite de la série harmonique altèrnée impaire.

$$-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{7} -\frac{1}{9}+\cdots\cdots$$

EXERCICE II

Soit $\mathcal{E}$ l'ensemble des matrice $A(x)=\frac{1}{2}\left[ \begin{array}{ll} e^{ix}+e^{-ix} & e^{ix}-e^{-ix} \\ e^{ix}-e^{-ix} & e^{ix}+e^{-ix} \\ \end{array}\right]$.

1) Calculer $A(0),\quad A(-x),\quad\textrm{avec}\quad x \in \mathbb{R}$. On pourra exprimer $A(x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$

2) Calculer $\det[A(x)]$ et démontrer l'existence de $A(x)^{-1}$ sans chercher à la calculer.

3) Démontrer que la matrice unitaire I apppartient à $\mathcal{E}$

4) En se limitant au terme de première ligne et première colonne, compte tenu de la similitude des calculs vérifier que l'on a :

$$\frac{1}{2}\left[ \begin{array}{ll} e^{ix}+e^{-ix} & e^{ix}-e^{-i... ...+y)} \\ e^{i(x+y)}-e^{-i(x+y)} & e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)} \\ \end{array}\right]$$

En déduire que : $A(x) A(y)= A(x+y)$.

5) En utilisant la relation $A(x) A(y)= A(x+y)$. prouver que l'on a : $A(x)^{-1}= A(-x)$

6) Toujours en utilisant la même relation prouver que le produit matriciel est commutatif dans $\mathcal{E}$.

7) Résoudre l'équation $A(x)^{2}=-I$

EXERCICE 0

1) La période est $T=2$, la pulsation est donc $\omega=\frac{2\pi}{T}=\pi$

2) La fonction f est impaire, donc $\int\limits_{-1}^{+1}f(t) dt=0$. D'autre part, le produit $f(t)\sin\pi n t$ étant pair,

$$\int\limits_{-1}^{+1}f(t)\sin\pi n t dt= 2 \int\limits_{0}^{+1}... ...\limits_{0}^{1}\cos n\pi t dt= \frac{2\cos n\pi}{n\pi}=\frac{2(-1)^{n}}{n\pi}$$

3) Puisque f est périodique avec un nombre fini de points de discontinuité de première espèce, pour chaque pÉriode. Elle peut se mettre sous forme d'une série de Fourier :

$f(t)=a_{0}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}(a_{k}\cos k\omega t+ b_{k}\sin k\omega t)$ avec les $a_{k}=0$ du fait que la fonction f est impaire.

$b_{k}=\frac{2}{T}\int\limits_{-1}^{+1}f(t) dt= \frac{2(-1)^{n}}{n\pi}$

On en tire : $f(t)=\frac{2}{\pi}\left(-\sin\pi t +\frac{1}{2}\sin2\pi t-\frac{1}{3}\sin3\pi t +\frac{1}{7}\sin7\pi t+\cdots\cdots\right)$

4) En prenant $t=\frac{1}{2}$ on a : $-\frac{1}{2}=\frac{2}{\pi}\left(-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots\right) \Longrightarrow -1+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\cdots=-\frac{\pi}{4}$

EXERCICE I

1) On a : $A(0)=I;\quad A(-x)= \frac{1}{2}\left[ \begin{array}{ll} e^{-ix}+e^{+ix} & e^{-... ... \begin{array}{ll} \cos x & i\sin x \\ i\sin x & \cos x \\ \end{array}\right]$

2) On a, de façon inélégante : $\det[A(x)]=\frac{1}{4} (e^{ix}+e^{-ix})^{2}-(e^{ix}-e^{-ix})^{2})= \frac{1}{4}(e^{2ix}+e^{-2ix}+2-e^{2ix}-e^{-2ix}+2)=1$

Sous forme trigonométrique le déterminant vaut $\cos^{2}x+\sin^{2}x=1$ Le déterminant vaut 1, donc $A(x)^{-1}$ existe.

3) Il suffit de remarquer que $A(0)=I$ et on a démontré que $I \in \mathcal{E}$.

4) Le terme de 1ere ligne 1ere colonne s'écrit (solution lourde) :

$\frac{1}{4}\left[(e^{ix}+e^{-ix})(e^{iy}+e^{-iy})+ (e^{ix}-e^{-ix})(e^{iy}+e^{-iy})\right]= \frac{1}{4}[2e^{i(x+y)}+2e^{-i(x+y)}]$

$=\frac{1}{2}[e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}]$, CQFD.

On démontre le reste de la même manière. Il est bien plus élégant d'utiliser les fonctions circulaires mais il faut connître deux formules de trigo et c'est comme pour les shadoks: si on entre la deuxième formule, la première ressort.

On vient de démontrer que $A(x)A(y)=A(x+y)$

5) On a $A(0)=I$. Donc, en appelant $A(y)$l'inverse de $A(x)$,

on a : $A(x)A(y)=A(x+y)=I=A(0)\Longrightarrow y=-x\Longrightarrow A(x)^{-1}=A(-x)$

6) On a :

$A(x)A(y)=A(x+y)$. Or $x+y=y+x$ Donc $A(x+y)=A(y+x)=A(y)A(x)$, d'où: $A(x)A(y)=A(y)A(x)$

7) On a : $A(x)^{2}=A(2x)=-I\iff \left\lbrace \begin{array}{l@{ = }l} \cos 2x & -1 \\ \sin 2x & 0 \\ \end{array}\right. \iff x=(2k+1)\frac{\pi}{2}$

Les solutions sont donc

$\left[ \begin{array}{ll} 0 & i \\ i & 0 \\ \end{array}\right]\qquad\textrm{et}\qquad \left[ \begin{array}{ll} 0 & -i \\ -i & 0 \\ \end{array}\right]$