INTRODUCTION AUX PLANS D'EXPÉRIENCES

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I) FONCTIONS A PLUSIEURS VARIABLES

1) Notation des dérivées partielles :

On note $\frac{\partial\,f(x,y)}{\partial x}= f^{\prime}_{x}(x,y)\quad\textrm{et}\quad \frac{\partial\,f(x,y)}{\partial y}= f^{\prime}_{y}(x,y)\quad\textrm{et}\quad$ les dérivées partielles respectives de $f(x,y)$

2) Théorème d'inversion :

Si la fonction f admet des dérivées partielles secondes croisées continues, alors ces dérivées partielles croisées sont égales.

3) Formule de Mac Laurin à deux variables : Si la fonction admet des dérivées troisièmes continues en 0 et des dérivées secondes continues au voisinage de 0, alors :

$f(x,y) = f(0,0)+xf_{x}^{\prime}(0,0)+yf_{y}(0,0)$

$+\frac{1}{2}\left[x^{2}\,f_{x^{2}}^{\prime\prime}(0,0) +2xy\,f_{xy}^{\prime\pr... ...2}\,f_{y^{2}}^{\prime\prime}(0,0) \right] + (x^{2}+y^{2})\epsilon(x^{2}+y^{2})$

4) Exemple : en appliquant cette formule, on obtient :

$\exp(x+y)\simeq 1+x+y+\frac{1}{2}(x^{2}+2xy+y^{2})$

On retrouve la même expression en posant $u=x+y$ et en effectuant un développement limité à l'ordre 2 par rapport à u.

II) VARIABLES RÉDUITES

1) Définition :

Soit $x$ une variable prenant ses valeurs dans l'intervalle $[\,a\;;\;b\,]$.

On appelle variable réduite associée à $x$ la variable $x^{*}$ définie par :

$$x^{*}=\frac{\displaystyle\quad x -\frac{\displaystyle a+b}{\displaystyle 2}\quad} {\displaystyle\frac{\displaystyle b-a} {\displaystyle 2}}$$

2) Remarques :

On voit que la variable réduite est sans dimension, qu'elle est est une fonction croissante de la variable $x$ non réduite et qu'elle varie de -1 à +1.

3) Exemple : Soit $P$ une pression à l'intérieur d'un réacteur. Les valeurs minimum et maximum sont respectivement de 5 bars et 8 bars. Dans cette hypothèse, la variable réduite p associée à $P$ est donné par la relation :

$${\displaystyle p = \frac{P-6,5}{1,5}}$$

III) PLAN À DEUX OU TROIS FACTEURS

1) Problème envisagé :

On considère un processsus dont le bilan est évalué par une mesure. Il peut s'agir d'un rendement à augmenter, d'une consommation énergétique à réduire, d'une caractéristique physique à optimiser ou à minimiser, etc...

On appelle réponse la valeur mesurée.

Cette réponse est fonction (inconnue) de plusieurs paramètres qui peuvent être la température, la pression, une concentration d'un produit donné, etc.... Chacun de ces paramètres est compris entre une borne inférieure et une borne supérieure qui sont imposées par les conditions expérimentales. Par exemple, la pression doit être supérieure à une certaine valeur $P_{min}$ en dessous de laquelle la réaction ne s'amorce pas. En revanche, elle ne doit pas dépasser une valeur $P_{max}$ au dessus de laquelle le réacteur ne peut fonctionner sans danger.

2) Notation des réponses :

• Notation ''littérale'' :

  Cette notation incohérente et source d'erreur consiste tout d'abord à noter les facteurs à l'aide de lettres. On note le premier facteur A, le deuxième B, etc...

  Ensuite, on adopte une notation spéciale pour les réponses. On note (1) la réponse obtenue en réglant tous les facteurs à leur plus bas niveau, en l'occurrence -1 pour les variables réduites.

  On note a la réponse obtenue en réglant A au niveau +1 et tous les autres facteurs au niveau -1.

  On note ab la réponse obtenue en réglant A et B à +1 et tous les autres facteurs à -1, etc...

  Pour un plan complet à trois facteurs et deux niveaux, les huit réponses mesurées sont donc :

  $$(1),\quad a,\quad b,\quad c, \quad ab,\quad bc,\quad ac,\quad abc$$

• Notation indexée :

  On mesure pour chaque sommet d'un plan à trois facteur la grandeur Y. On note $y_{ijk}$ la valeur obtenue au niveau i du paramètre 1, au niveau j du paramètre 2, au niveau k du paramètre 3. Les indices sont supérieurs ou égaux à 1.

3) Plans à deux niveaux :

Lorsque l'on mesure les réponses en prenant pour chaque facteur ses valeurs minimum et maximum, on réalise un plan factoriel à deux niveaux, généralement numérotés 1 et 2.

Il existe des plans factoriels à trois niveaux dans lesquels on on mesure chaque facteur aux extremités ainsi qu'au milieu de l'intervalle qui lui est imparti.

On dit que l'on fait un plan à deux niveaux lorsqu'on mesure les réponses exclusivement aux deux extrémités des intervalles impartis à chaque paramètre.

4) Nombre de mesures à effectuer :

Un plan d'expérience à $n$ facteurs et 2 niveaux comportera ${\displaystyle 2^{n}}$ mesures.

Un plan d'expérience à $n$ facteurs et 3 niveaux comportera ${\displaystyle 3^{n}}$ mesures.

5) Modèle théorique supposé pour la réponse :

• Pour un plan à deux facteurs, on modélise la réponse $y$ sous la forme :
  $$y = y_{0} + e_{1}x_{1} + e_{2}x_{2} + e_{12}x_{1}x_{2}$$
  Les variables $x_{1}$, $x_{2}$, sont les deux paramètres sous forme réduites, donc comprises entre -1 et +1. Ce modèle est qualifié de linéaire simple. Ce modèle est tiré du développement limité à l'ordre 2 au voisinage de l'origine, ce qui suppose que l'on a des dérivées partielles secondes continues. On admet sans aucune justification que les dérivées partielles secondes sur la même variable sont nulles. Cette accumulation d'hypothèses simplificatrices semble bien étonnante.

  Entre autres incohérences, On constate qu'il s'agit au contraire d'un modèle non linéaire.

  La constante $y_{0}$ est la valeur de la réponse obtenue lorsque les deux variables $x_1$ et $x_2$ sont à 0, c'est-à-dire lorsque les deux facteurs sont aux milieux des intervalles qui leur sont impartis; la mesure de la réponse en ce point ne fait pas partie de l'ensemble des $2^{n}$ mesures dénombrées ci-dessus pour un plan d'expériences à $n$ facteurs et deux niveaux.

  On admet très bien que l'effet d'une variable x sur une variable z n'est autre que la dérivée de y par rapport à x. Une faible variation de x entraînera une forte variation de y si la dérivé est forte en valeur absolue, ce qui conforte l'idée de confusion entre l'effet et la dérivée.

  $e_{1}$ et $e_{2}$ sont appelées respectivement ''effets'' des paramètres A et B, en désignant sous le nom de A et B les paramètres 1 et 2. Ce sont les dérivées premières partielles, dans la mesures où elles existent.

  La constante $e_{12}$ est nommée ''interaction'' des paramètres A et B.

  Elle s'interprète comme la dérivé seconde croisée, ce qui est l'effet d'une valrable sur l'effet de l'autre.

  On convient de noter les indices dans l'ordre croissant.

• Pour un plan à 3 facteurs et à deux niveaux, le modèle théorique suivi par la réponse est de la forme :
  $$y=y_{0}+e_{1}x_{1}+e_{2}x_{2}+e_{12}x_{1}x_{2} +e_{3}x_{3}+e_{13}x_{1}x_{3}+e_{23}x_{1}x_{3}+e_{123}x_{1}x_{2}x_{3}$$
  Les termes font intervenir les facteurs un par un, puis deux par deux et enfin trois par trois. On les obtient tous en appliquant l'algorithme qui engendre les parties d'un ensemble à trois éléments, la partie vide étant associée au terme constant $y_{0}$. Cela explique que pour trois facteurs on ait ${\displaystyle 2^{3}}$ termes car un ensemble fini à $n$ éléments possède ${\displaystyle 2^{n}}$ parties distinctes, y compris la partie vide.

  Si l'on veut condenser la formule de la réponse, on obtient :

  $$y=y_{0}+\sum\limits_{i}e_{i}x_{i}+\sum\limits_{i<j}e_{ij}x_{i}x_{j}$$
  Pour trois facteurs, on obtiendrait de façon analogue :
  $$y=y_{0}+\sum\limits_{i}e_{i}x_{i}+\sum\limits_{i<j}e_{ij}x_{i}x_{j} +\sum\limits_{i<j<k}e_{ijk}x_{i}x_{j}x_{k}$$

6) But du plan d'expériences :

Il s'agit de déterminer les coefficients de l'expression théorique de la réponse afin de touver les valeurs de $x_1$, $x_2$, $x_3$ pour lesquelles on obtient la meilleure valeur de la réponse. Il y a, pour 2 facteurs, 4 coefficients à déterminer qui sont $y_{0}$, $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{12}$. Ces quatre équations s'obtiennent à partir de quatre mesures de réponses faites aux quatre sommets du plan d'expérience : $(-1;-1)$, $(+1;-1)$, $(-1;+1)$, $(+1;+1)$.

On a mis dans ces quatre couples les valeurs minimales et maximales des deux variables réduites $x_{1}$ et ${x_2}$.

7) Notations utilisées pour les réponses :

Notation indicielle : on note $y_{ijk}$ la réponse mesurée au niveau $i$ du paramètre 1, au niveau $j$ du paramètre 2, au niveau $k$ du paramètre 3, dans le cas d'un plan factoriel à trois facteurs. Dans le cas d'un plan à deux facteurs, les quatre réponses mesurées sont notées $y_{11}$, $y_{21}$, $y_{12}$, $y_{22}$. Si on représente sur deux colonnes les couples de valeurs $(x_{i},x_{j})$, on obtiendra la disposition suivante :

$$\left[ \begin{array}{rr} -1 & -1 \\ +1 & -1 \\ -1 & +1 \\ +1 & +1 \end{array}\right]$$

Dans cette disposition, les valeurs du paramètre $A$ sont alternées à chaque ligne, celle de $B$ sont alternées toutes les deux lignes. Si on avait eu trois paramètres, les valeurs du troisième paramètre auraient été alternées par tranches de quatre.

Notation littérale : avec cette convention, on note (1) la la réponse obtenue au niveau bas de tous les paramètres, $a$ la réponse obtenue au niveau haut de $A$ et au niveau bas de $B$, $b$ celle obtenue au niveau bas de $A$ et au niveau haut de $B$, $ab$ celle obtenue au niveau haut à la fois pour $A$ et pour $B$. On a donc :

$$y_{11} = (1) \quad y_{21} = a \quad y_{12} = b \quad y_{22} = ab$$

Pour trois facteurs, la correspondance entre les deux notations s'écrit alors :

$$\begin{array}{\vert l\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\v... ...rm{Litt\'{e}rale} & (1) & a & b & ab & c & ac & bc & abc \\ \hline \end{array}$$

Afin de simplifier les calculs matriciels ultérieurs, il faut placer les valeurs des réponses dans l'ordre indiqué par le tableau ci-dessus. C'est l'ordre dans lequel apparaissent les parties d'un ensemble à $n$ éléments. En effet, pour obtenir l'ensemble $\mathcal{P}(E)$ des parties d'un ensemble $E$ à $n$ éléments, on initialise $\mathcal{P}(E)$ à la partie vide, puis, pour chaque élément, on concatène cet élément à chacune des parties déjà obtenue. Dans le cas de 4 facteurs, on générerait les réponses dans cet ordre

$$(1),a,b,ab,c,ac,bc,abc,d,ad,bd,abd,cd,acd,bcd,abcd$$

8) Calcul des effets et interactions pour trois facteurs :

Ecrivons les équations obtenues pour chacun des sommets du plan d'expériences en remplaçant $x_1, x_2, x_3$ par leurs valeurs dans l'équation théorique :

$$y_{0}+e_{1}x_{1}+e_{2}x_{2}+e_{12}x_{1}x_{2} +e_{3}x_{3}+e_{13}x_{1}x_{3}+e_{23}x_{1}x_{3}+e_{123}x_{1}x_{2}x_{3}=y$$

On en tire :

$$\left\lbrace \begin{array}{l@{\ =\ }c@{\ =\ }c} y_{0}-e_{1}-e_{2}... ...1}+e_{2}+e_{12}+e_{3}+e_{13}+e_{23}+e_{123} & y_{222} & abc \end{array}\right.$$

Ce système linéaire se représente matriciellement sous la forme :

$$\left[ \begin{array}{rrrrrrrr} +1 & -1 & -1 & +1 & -1 & +1 & +1 &... ...21} \\ y_{221} \\ y_{112} \\ y_{212} \\ y_{122} \\ y_{222} \end{array}\right]$$

On peut encore l'écrire sous la forme $AE=Y$ en notant $A$ la matrice carré (8,8) dont les coefficients sont tous égaux à $\pm 1$,,$Y$ la matrice colonne des huit réponses et $E$ la matrice colonne contenant la constante $y_{0}$ ainsi que les effets et les interactions. Le problème se ramène alors au calcul de $E$.

Si on note $\tilde{A}$ la transposée de la matrice $A$, on s'aperçoit que :

$${\displaystyle\tilde{A}A=8I\iff A^{-1}=\frac{1}{8}\tilde{A}}$$

Utilisons cette propriété de la matrice $A$ pour calculer la matrice $E$ sans même avoir à transposer $A$. On a :

$$Y=AE\iff A^{-1}Y=E\iff \frac{1}{8}\tilde{A}Y = E$$

On peut transposer chaque membre de la dernière égalité en utilisant en même temps le fait que la tranposé du produit est le produit des transposés dans l'ordre inverse. On obtient alors :

$$\tilde{Y}\times\frac{1}{8}\tilde{\tilde{A}}=\tilde{E} \iff \tilde{E}=\frac{1}{8}\tilde{Y}A$$

On obtient ainsi les coeficients de la matrice $E$. Si on dispose d'un calculateur inversant les matrices, il est plus efficace d'inverser directement la matrice A.

9) Généralisation à $n$ facteurs :

Lorsque l'on passe à $n$ facteurs, la matrice $A$ possède la propriété suivante :

$$\tilde{A}A=A\tilde{A}=2^{n}I$$

où $I$ désigne la matrice carrée unitaire d'ordre $n$. On a alors :

$$\tilde{E}=\frac{1}{2^{n}}\tilde{Y}A$$

les matrices $E$ et $Y$ comportant $n$ termes chacune.

10) Exemple numérique :

On considère un plan d'expérience á trois facteurs $A$, $B$, $C$ pour lequel on a effectué la totalité des 8 mesures qui ont abouti aux résultats suivants (les valeurs des facteurs sont données sous forme réduites) :

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert} \hline \tex... ... +1 & 103 \\ \hline +1 & +1 & +1 & 157 \\ \hline \end{array}$$

Calculons d'abord les coefficients du modèle théorique. L'application de la formule matricielle du paragraphe précédent donne immédiatement $\tilde{E}$ :

$$\tilde{E} = \left[ \begin{array}{rrrrrrrr} 100,0 & 20,0 & 15,0 & 5,00 & 10,0 & 1,0 & 5,0 & 1,0 \\ \end{array}\right]$$

On en tire l'expression théorique de la réponse en fonction des variables réduites :

$$y = 100 + 20x_{1} + 15x_{2} + 5x_{1}x_{2} + 10x_{3} + x_{1}x_{3} + 5x_{2}x_{3} + x_{1}x_{2}x_{3}$$

Comment, à partir de là, calculer les valeurs de $x_1$, $x_2$, $x_3$ fournissant la valeur optimum de $y$ ? Dans ce cas particulier, les interactions et les effets sont tous positifs. On obtiendra donc le maximum en donnant au trois variables la valeur 1.

Dans le cas où les effets et interactions dont de signes quelconques, la conclusion est beaucoup moins évidente et, en l'absence d'une étude mathématique fine de la fonction sur le domaine expérimental, on peut utiliser un algorithme trivial de recherche d'extremum local d'une fonction dans le domaine expérimental.

11) Autre exemple numérique :

Dans le cas d'un plan à 3 facteurs, les huit mesures obtenues, sont, dans l'ordre habituel :

$$\begin{array}{\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\vert c\v... ...ne 39,8 & 39,2 & 27,8 & 25,9 & 32,2 & 30,3 & 21,0 & 18,1 \\ \hline \end{array}$$

matriciel ont conduit à l'expression suivante pour la réponse $y$ :

$y=29,2875 - 0,9125x_{1} - 6,0875x_{2} - 0,2875x_{1}x_{2} - 3,8875x_{3}$

$-0,2875x_{1}x_{3} + 0,2375x_{2}x_{3} + 0,0375x_{1}x_{2}x_{3}$

Si on balaye le domaine expérimental aux moyen de l'algorithme primaire en coupant en 200 parties les trois intervalles $[\,-1\;;\;+1\,]$, on trouve que le maximum est obtenu pour le triplet $(-1, -1, -1)$ qui est précisement celui où on obtient la réponse la plus élevée. Tout se passe comme si les interactions ne jouaient aucun rôle dans le calcul de la réponse. Dans le calcul de la réponse, les termes des interactions multiplient entre elles des valeurs inférieures à 1 en valeur absolue. Pour peu que les coefficients soient faibles, ces termes sont négligeables devant les autres. Ce cas de figure permet de régler les facteurs sur le sommet où on obtient la réponse la plus souhaitable, c'est-à-dire de ne prendre en compte que les seuls effets.

IV) EVALUATION DU NIVEAU DE SIGNIFICATION DES EFFETS

1) Notations : Plaçons-nous dans le cas d'un plan d'expériences à deux facteurs. On convient d'utiliser les notations suivantes :

• On note ${\displaystyle\bar{y}_{\bullet\bullet}}$ la moyenne arithmétique de toutes les mesures de réponses du plan d'expériences, c'est-à-dire que l'on a : ${\displaystyle\bar{y}_{\bullet\bullet}= \frac{1}{4}\sum\limits_{i,j}y_{i,j}}$
• On note ${\displaystyle\bar{y}_{\bullet j}}$ la moyenne des effets au niveau $j$ du paramètre $B$, c'est-à-dire que : ${\displaystyle\bar{y}_{\bullet j}= \frac{1}{2}\sum\limits_{i}y_{i,j}}$. La somme ne se fait ici que sur l'indice $i$.
• On note ${\displaystyle\bar{y}_{i\bullet}}$ la moyenne des effets au niveau $i$ du paramètre $A$, c'est-à-dire que : ${\displaystyle\bar{y}_{i\bullet}= \frac{1}{2}\sum\limits_{j}y_{i,j}}$. La somme ne se fait ici que sur l'indice $j$.

2) Analyse de la dispersion des valeurs mesurées :

$$y_{ij}-\bar{y}_{\bullet\bullet} =(\bar{y}_{i\bullet}-\bar{y}_{\bu... ...t})+ (y_{ij}-\bar{y}_{i\bullet}-\bar{y}_{\bullet j}+ \bar{y}_{\bullet\bullet})$$

Si on elève chaque membre au carré et si on effectue la somme sur les indices i et j, on obtient :

$$\sum\limits_{ij}(y_{ij}-\bar{y}_{\bullet\bullet})^{2} =\sum\limit... ...}(y_{ij}-\bar{y}_{i\bullet}-\bar{y}_{\bullet j}+ \bar{y}_{\bullet\bullet})^{2}$$

On démontre en effet que les sommes des doubles produits s'annulent, donc il ne reste plus que les sommes des carrés.

Le premier membre rend compte de la dispersion totale de toutes les valeurs. Au second membre, le premier terme rend compte de la contribution du facteur A à la dispersion générale. On démontre que, dans le cas d'un plan factoriel á p niveaux pour le facteur A, il possède $p-1$ degrés de liberté. On démontre également que sa valeur est $$2^{n}e_{1}^{2}$$, pour un plan factoriel à n facteurs de deux niveaux chacun.

De la même façon, le deuxième terme représente la dispersion dûe au facteur B. Si q est son nombre de niveaux, il a $q-1$ degrés de liberté. Pour 2 niveaux et n facteurs il vaut $$2^{n}e_{2}^{2}$$.

Enfin, le troisième terme possède $(p-1)(q-1)$ degrés de liberté et représente la dispersion dûe à l'interaction AB.

Il en résulte que, pour un plan à deux facteurs et à deux niveaux chacun :

$$\sum\limits_{ij}(y_{ij}-\bar{y}_{\bullet\bullet})^{2}= 4e_{1}^{2}+ 4e_{2}^{2}+ 4e_{12}^{2}$$

3) Test de Fisher Snedecor :

On répè p fois la mesure de la réponse au centre du domaine expérimental et on calcule la variance $s^{2}$ de cet série. Si l'effet de A est négligeable, alors sa contribution à la dispersion est la même que la variance dûe aux erreurs expérimentales et le rapport $\textrm{SCA}/s^{2}$ suit la loi de Fisher $F_{1,p-1}$.

4) Test de Student :

On répè p fois la mesure de la réponse au centre du domaine expérimental et on calcule la variance $s^{2}$ de cet série. On déduit la variance sur $e_{1}$, elle vaut : $s^{2}/n$, du fait même de son expression en fonction des réponses. Il suffit de déterminer un intervalle de confiance centré sur 0 et de voir si la valeur expérimentale s'y trouve pour conclure que l'effet est ou n'est pas négligeable.

5) Exemple :

Dans un processus de fabrication, trois facteurs A, B, C modifient la réponse y. On effectue un plan factoriel complet à deux niveaux et on ontient les résultats suivants :

A	B	C	Réponse
$-1$	$-1$	$-1$	$175$
$+1$	$-1$	$-1$	$109$
$-1$	$+1$	$-1$	$697$
$+1$	$+1$	$-1$	$480$
$-1$	$-1$	$+1$	$329$
$+1$	$-1$	$+1$	$400$
$-1$	$+1$	$+1$	$850$
$+1$	$+1$	$+1$	$811$

De plus, on répète 4 mesures de $y_{0}$ et on obtient $830,\quad 640,\quad 675,\quad 880$

Cherchons l'expression de la réponse suivant le modèle simple, ainsi que le niveau de signification des coefficients au risque de 0,05. Appelons X la matrice de calcul des effets.

Le produit de la matrice $X^{-1}$ par la matrice des réponses donne immédiatement :

$$y_{0}\simeq481,375\quad e_{1}\simeq-31,375\quad e_{2}\simeq228,125 \quad e_{12}\simeq-32,625\quad$$

$$e_{3}\simeq116,125\quad e_{13}\simeq39,375\quad e_{23}\simeq4,875 \quad e_{123}\simeq5,125$$

Effectuons l'analyse de variance : celle des 4 mesures de $y_{0}$ est égale á $s^{2}\simeq13622,917$ et elle a 3 degrés de liberté.

$SCA/s^{2}\simeq0,57\quad SCB/s^{2}\simeq30,56 \quad SCAB/s^{2}\simeq0,625\quad SCC/s^{2}\simeq7,91$

$SCAC/s^{2}\simeq0,91\quad SCBC/s^{2}\simeq0,01\quad SCABC/s^{2}\simeq 0,01$.

La fonction de répartition droite de Fisher vaut $\textrm{F}_{1,4}(0,05)\simeq7,71$. On en conclue que, au risque de 5%, seuls B et C sont non négligeables. Au risque de 1%, $\textrm{F}_{1,4}(0,01)\simeq21,19$ et seul C subsiste.

V) PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES

1) Partage d'un plan à trois facteurs en deux demi plans.

On considère un plan d'expériences à trois facteurs $A$, $B$, $C$. Si on se limite aux sommets tels que $x_{3} = x_{1}x_{2}$, on constate que celà représente quatre sommets sur huit qui sont les quatre triplets :

$$(-1,-1,+1),(+1,-1,-1),(-1,+1,-1),(+1,+1,+1)$$

Sur ces quatre sommets, on mesure les réponses : $y_{112}$, $y_{211}$, $y_{121}$, $y_{222}$.

Par ailleurs, sur chacun de ces quatre sommets, on a :

$$x_{3}=x_{1}x_{2}\iff 1=x_{1}x_{2}x_{3}\iff x_{2}=x_{1}x_{3}\iff x_{1}=x_{2}x_{3}$$

Ces relations s'expliquent par le fait que, à chaque somet du plan d'expériences, les $x_{i}$ valent $+1$ ou $-1$. Par exemple, on passe de $1=x_{1}x_{2}x_{3}$ à $x_{2}=x_{1}x_{3}$ en multipliant chaque membre par $x_{2}$ et en remarquant que l'on a : ${\displaystyle x_{2}^{2}=1}$.

Si on tient compte de chacune des relations vérifiées sur les quatre sommets sélectionnés, on a, pour chacun d'entre eux :

$$y=y_{0}+e_{1}x_{1}+e_{2}x_{2}+e_{12}x_{1}x_{2} +e_{3}x_{3}+e_{13}x_{1}x_{3}+e_{23}x_{2}x_{3} +e_{123}x_{1}x_{2}x_{3}$$

On en tire alors :

$$y=(y_{0}+e_{123}) +(e_{1}+e_{23})x_{1} +(e_{2}+e_{13})x_{2} +(e_{3}+e_{12})x_{3}$$

2) Calcul et définition des alias :

Posons ${\displaystyle l_{0}=y_{0}+e_{123},\quad l_{1}=e_{1}+e_{23},\quad l_{2}=e_{2}+e_{13},\quad l_{3}=e_{3}+e_{12} }$

Les coefficient $l_0$, $l_1$, $l_2$, $l_3$ s'appellent des ''alias'' des coefficients $y_0$, $e_1$, $e_2$, $e_3$. Le modèle théorique devient alors, pour chacun des quatre sommets retenus :

$$y=l_{0}+l_{1}x_{1}+l_{2}x_{2}+l_{3}x_{3}$$

On se place successivement sur chacun de ces 4 sommets en dans l'ordre que l'on aurait choisi si on avait eu seulement les deux premiers facteurs :

$$\left\lbrace \begin{array}{l@{\ =\ }l} l_{0}-l_{1}-l_{2}+l_{3} & ... ...l_{2}-l_{3} & y_{121} \\ l_{0}+l_{1}+l_{2}+l_{3} & y_{222} \end{array}\right.$$

L'écriture matricielle de ce système d'équations est immédiate :

$$\left[ \begin{array}{rrrr} +1 & -1 & -1 & +1 \\ +1 & +1 & -1 & -... ...[ \begin{array}{c} y_{112} \\ y_{211} \\ y_{121} \\ y_{222} \end{array}\right]$$

Cete égalité montre que le facteur 3 remplace l'interaction (1,2). Il est clair que si cette interaction est faible, l'alias $l_{3}$ prend à peu près la valeur de ${e_3}$.

3) Deuxième demi plan d'expériences :

On aurait pu choisir les quatre sommets d'une autre façon, en se limitant á ceux qui vérifient $x_{3}=-x_{1}x_{2}$.

On aurait ainsi obtenu les réponses $y_{111}, y_{212}, y_{122}, y_{221}$ qui constituent le deuxième demi plan d'expérience, le premier étant constitué des quatre sommets qui ont été définis par la relation $x_{3} = x_{1}x_{2}$.

4) Calcul des alias pour le deuxième demi plan d'expériences :

On a tout d'abord : $x_{3}=-x_{1}x_{2}\iff -1=x_{1}x_{2}x_{3}$. On obtient la deuxième égalité en multipliant par $x_{3}$ chaque membre de la première, en remarquant quie, pour tout sommet du plan d'expériences, on a la relation ${\displaystyle x_{i}^{2} = 1}$. Cette égalité s'appelle le générateur d'alias. On en tire les équivalences suivantes :

$$1=-x_{1}x_{2}x_{3} \iff x_{1}=-x_{2}x_{3} \iff x_{2}=-x_{1}x_{3} \iff x_{3}=-x_{2}x_{3}$$

L'observation de ces quatre égalités permet de prévoir que l'on aura :

$$\begin{array}{cc@{\ =\ }l} & y & (y_{0}-e_{123})+(e_{1}-e_{2... ... y & l_{0} +l_{1}x_{1} +l_{2}x_{2} +l_{3}x_{3} \end{array}$$

avec $l_{0}=y_{0}-e_{123}$, $l_{1}=e_{1}-e_{23}$, $l_{2}=e_{2}-e_{13}$, $l_{3}=e_{3}-e_{12}$,

5) Exemple avec 5 facteurs :

On désire ne faire que 8 mesures au lieu de 32 sur un plan d'expériences à cinq facteurs. On choisit d'aliaser l'interaction 123 par le facteur 5 et l'interaction 23 par le facteur 4. Cela revient à ne faire les mesures de réponses que sur les sommets où on aura la relation ${\displaystyle x_{5}=x_{1}x_{2}x_{3}}$ ainsi que les sommets où on aura la relation ${\displaystyle x_{4}=x_{2}x_{3}}$.

Ces deux relations donnent alors deux égalités génératrices d'alias :

$${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{5}=1\quad\textrm{et}\quad x_{2}x_{3}x_{4}=1}$$

.

En les multipliant membre à membre on obtient un troisième générateur d'alias qui est l'égalité : ${\displaystyle x_{1}x_{4}x_{5}=1}$

Sur chacun des huit sommets retenus, les coefficients ${\displaystyle e_{1235}}$, ${\displaystyle e_{234}}$ et ${\displaystyle e_{145}}$ seront en facteurs de 1 dans l'équation du modèle théorique et s'ajouteront donc à la constante $y_{0}$ pour donner $l_{0}$.

Donc on aura : ${\displaystyle l_{0}=y_{0}+e_{1235}+e_{234}+e_{145}}$.

Pour obtenir les termes comportant un facteur égal à $x_{1}$, il suffit de multiplier par $x_{1}$ les deux membres de chacun des 3 générateur d'alias.

$${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{5}=1,\quad x_{2}x_{3}x_{4}=1},\quad x_{1}x_{4}x_{5}=1$$

.

On obtient donc : ${\displaystyle x_{2}x_{3}x_{5}=x_{1},\quad x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}=x_{1},\quad x_{4}x_{5}=x_{1}}$.

Il en résulte que $e_{1}$ sera aliasé par la somme $e_{235}+e_{1234}+e_{45}$.

Pour obtenir les termes comportant un facteur égal à $x_{2}$, il suffit de multiplier par $x_{2}$ les deux membres de chacun des 3 générateur d'alias.

$${\displaystyle x_{1}x_{2}x_{3}x_{5}=1,\quad x_{2}x_{3}x_{4}=1},\quad x_{1}x_{4}x_{5}=1$$

On obtient donc : $x_{1}x_{3}x_{5}=x_{2},\quad x_{3}x_{4}=x_{2},\quad x_{1}x_{2}x_{4}x_{5}=x_{2}$

D'où : ${\displaystyle l_{2}=e_{2}+e_{135}+e_{34}+e_{1245}}$

De même, pour obtenir les termes en $x_{1}x_{2}$, on multipli par $x_{1}x_{2}$ chaque membre de ces mêmes générateurs d'alias, ce qui donne :

$$x_{3}x_{5}=x_{1}x_{2},\quad x_{1}x_{3}x_{4}=x_{1}x_{2}, x_{2}x_{4}x_{5}=x_{1}x_{2}$$

D'où : $l_{12}=e_{12}+e_{35}+e_{134}+e_{245}$

$$\left\lbrace \begin{array}{l@{\ =\ }l} e_{1235}+e_{234}+e_{145} &... ...15}+e_{12345} & l_{4} \\ e_{5}+e_{14}+e_{2345} & l_{5} \\ \end{array}\right.$$

Dans cette sucession d'égalités, les alias $l_{3}$ et $l_{4}$ viennent à la place des interactions 23 et 123 dans l'équation du modèle théorique.

On obtient alors l'équation matricielle :

$$\left[\begin{array}{rrrrrrrr} +1 & -1 & -1 & +1 & -1 & +1 & ... ...212} \\ y_{21211} \\ y_{12221} \\ y_{22222} \end{array}\right]$$

Les valeurs des alias s'obtiennent en multipliant à gauche chaque membre de l'égalité par l'inverse de la matrice $(8\times 8)$

Les indices des réponses s'obtiennent en lisant les coefficients de la matrice carrée dans les colonnes réservées respectivement á $A$, $B$, $C$, $BC$ qui est aliasé par $D$ et $ABC$ qui est aliasé par $E$. Les calculs se font donc avec la matrice prévue pour seulement 3 facteurs.