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REVISIONS - PLANS D'EXPERIENCE

On réalise un plan d'expériences en $2^{4}$ (2 niveaux, 4 facteurs). On nommera ces facteurs et les varaibles réduites qui leur sont associées conformément au tableau suivant :

Facteur	A	B	C	D
Effet	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{3}$	$e_{4}$
Variable réduite	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$

Ce plan a pour but de minimiser un coût énergétique y. On se place dans l'hypothèse oú y peut s'exprimer en fonction des variables $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$ sous forme d'un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de (0,0,0,0).

1) On souhaite, dans une première approche,n'effectuer que le plan en $2^{4-1}$ se limitant aux sommets du plan tels que

$$x_{4}= x_{1}x_{2}x_{3}$$

Quelle autre condition aurait-on pu choisir, aussi performante en terme d'évaluation de $e_{4}$? Exprimer la réponse en fonction de $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, l_{0}, l_{1}, l_{2}, l_{3}, l_{4}, l_{12}, l_{13}, l_{23}$.

2) Exprimer chacn des huit contrastes $l_{i}$ et $l_{ij}$ en fonction des effets et interactions du plan $2^{4}$.

3) On donne les résultats obtenus sur la matrice $Y$

$$18,00\qquad29,00\qquad9,00\qquad18,00\qquad27,00\qquad20,00 \qquad20,00\qquad23,00$$

Rappeler les noms $y_{ijkl}$ de ces huit mesures.

4) Ecrire la matrice de Hadamard X nécessaire pour traiter le plan $2^{4-1}$

5) Quelle relation a-t-on entre la matrice colonne Y des huit mesures effectiées, la matrice X, la matrice colonne E des hit contrastes?

6) En déduire l'expression de la réponse.

(on trouve : $y=20,5 + 2x_{1} - 3x_{2} + x_{1}x_{2} + 2x_{3} - 3x_{1}x_{3} + 2x_{2}x_{3} + 1,5x_{4}$

7) On mesure 4 fois la réponse au centre du domaine expérimental et on trouve une variance d'échantillon (donner la formule) égale à 0,75. En déduire le niveau de signification des contrastes au niveau de confiance de 60% et de 90%