RESUMÉ DE COURS - INTEGRALE DE RIEMANN

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I) Introduction

1) Théorème et définition :

Soit f une fonction numérique définie et continue sur $[ a,b ]$.

On partage l'intervalle $[ a,b ]$ en n sous intervalles délimités par les valeurs $a=x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}=b$.

Soit alors les valeurs $\lambda_{1},\lambda_{2},\ldots,\lambda_{n}$ telles que $\lambda_{k} \in [x_{k-1} , x_{k}]$ On pose alors :

$S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{k=n}\left(x_k - x_{k-1}\right) f(\lambda_k)$

Lorsque n tend vers $+\infty$ et $\sup(x_k - x_{k-1})$ tend vers 0, la somme de Riemann $S_n$ tend vers une limite appelée intégrale de f de a à b.

La continuité sur l'intervalle fermé est suffisante pour que la fonction soit intégrable. C'est encore vrai lorsqu'on a seulement la continuité par morceau, comme c'est le cas pour la fonction $x\longmapsto \arctan(\tan x)$

2) Remarques: Chaque terme de la somme $S_n$ est de la forme $f(x) dx$ où x prend successivement les valeurs $\lambda_k$ et dx prend successivement les valeurs $x_k - x_{k-1}$.

$S_n$ est donc une approximation de la somme de n valeurs de la différentielle d'une fonction F dont la dérivée vaut f.

3) Notation de l'intégrale : L'intégrale se présente donc comme une somme infinie de valeurs de la différentielle d'une primitive de f. La somme infinie est représentée par la lettre "S" en typographie XVIII^ième siècle.

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty} S_n = \int\limits_{a}^{b}f(t) dt=\int\limits_{a}^{b}f(u) du = \int\limits_{a}^{b}f(x) dx$

On voit que le nom de la variable d'intégration n'a aucune importance. Il s'agit d'une variable muette.

4) Exemple :

Soit f la fonction définie sur I R par : $\left\lbrace \begin{array}{l} \forall x\notin [ 0\;;\;3 ]\quad f(x) = 0 \\ \forall x\in [ 0\;;\;3 ]\quad f(x) = 2 \end{array}\right.$

Calculons $\int\limits_{0}^{3}f(t) dt$. On partage l'intervalle $[ 0\;;\;3 ]$ en n sous-intervalles de longueurs pas nécessairement égales. Sur chaque sous-intervalle, $f(x)$ est constante et égale à 2, donc les $f(\lambda_{k})$ sont tous égaux à 2. Il en résulte que les sommes de Riemann sont égales à :

$$S_{n}=\sum\limits_{k=1}^{k=n}(x_{k}-x_{k-1})f(\lambda_{k}) =2\sum\limits_{k=1}^{k=n}(x_{k}-x_{k-1})=2(3-0)=6$$

D'une façon plus générale, on a, pour une fonction constante sur $[ a\;;\;b ]$,

où $\mu$ désigne la valeur constante de la fonction sur l'intervalle $[ a\;;\;b ]$.

On a, en particulier :

Attention :

5) Formule de la moyenne :

Si f est continue sur $[ a\;;\;b ]$, alors il existe $\lambda\in [ a\;;\;b ]$ tel que :

$\int\limits_{a}^{b}f(t) dt=(b-a)f(\lambda)$

La valeur $f(\lambda)$ est est celle de la constante qui a la même intégrale sur $[ a\;;\;b ]$ que la fonction f.

6) Inversion des bornes :

Etant donnés a et b tels que $a<b$, on définit : $\int\limits_{b}^{a}f(t) dt$ comme la limite des sommes $\sum\limits_{k=1}^{k=n}(x_{k-1}-x_{k})f(\lambda_{k})$ Il en résulte que :

$\int\limits_{a}^{b}f(t) dt=-\int\limits_{b}^{a}f(t) dt$

7) Conséquences :

*

Linéarité de l'intégrale :

*

Inversion des bornes et relation de Chasles :

*

Théorème de la moyenne : Si la fonction f est continue sur un intervalle $[ a\;;\;b ]$, alors il existe au moins une valeur $\lambda$ de $[ a\;;\;b ]$, telle que $\int\limits_{a}^{b}f(t) dt=(b-a)f(\lambda)$

La valeur $m=f(\lambda)$ est appelée valeur moyenne de la fonction f sur l'intervalle $[ a\;;\;b ]$

On a évidemment :

Si la fonction f est monotone, $\lambda$ est unique sur l'intervalle.

8) Relation entre primitive et intégrale :

Soit $F$ une primitive de $f$. On a alors :

$\int\limits_{a}^{x}f(u) du=F(x)-F(a)\Longrightarrow \frac{d}{dx}\left[\int\limits_{a}^{x}f(u) du\right]=f(x)$

9) Fonction de signe constant sur l'intervalle :

Si $f(t)$ est positive sur $[ a\;;\;b ]$, alors $\int\limits_{a}^{b}f(t) dt \geqslant 0$. De même si la fonction est constamment négative, son intégrale sur $[ a\;;\;b ]$ est négative.

10) Comparaison de deux intégrales :

$\forall t\in [ a\;;\;b ]\quad f(t)<g(t) \Longrightarrow \int\limits_{a}^{b}f(t) dt < \int\limits_{a}^{b}g(t) dt$

En d'autres termes, deux fonctions sont dans le même ordre que leurs intégrales si la borne de départ est inférieure à la borne d'arrivée.

11) Inégalité de Schwartz :

$\left[\int\limits_{a}^{b}f(t) g(t) dt\right]^{2}\leqslant \int\limits_{a}^{b}f(t)^{2} dt \int\limits_{a}^{b}g(t)^{2} dt$

II) Exemples classiques d'intégration :

1) Utilisation directe d'une primitive : Posons $F ' = f$.

2) Changement de variable :

Soit $\phi$ une fonction admettant une réciproque $\phi^{-1}$.

On a alors : $t = \phi(u)\iff u=\phi^{-1}(t)$, d'où on tire :

3) Exemples d'intégration par changement de variable :

*

Posons $t = \tan\alpha$ dans l'intégrale suivante.

$$\int\limits_0^1\frac{dt}{\left(1+t^2\right)^2} = \int\limits_0^{\... ...i/4}\frac{d\alpha}{1+\tan^2\alpha} =\int\limits_0^{\pi/4}\cos^2\alpha d\alpha$$

*

Considérons maintenant l'intégrale :

$$F(x)=\int\limits_0^x\exp\left(t^2\right) dt$$

Au moyen du changement de variable $u=2t$, transformons l'intégrale :

$$\int\limits_0^x\exp\left(4t^2\right) dt$$

On obtient alors :

$$\int\limits_0^x\exp\left(4t^2\right) dt =\int\limits_0^{2x}\exp\... ...{2} \int\limits_0^{2x}\exp\left(u^2\right) du =\frac{1}{2} F\left(2x\right)$$

*

Appliquons le changement de variable à :

$$\int\limits_0^x\frac{dt}{2t^2+1}$$

en posant $u=t\sqrt{2}$, ce qui donne $du=\sqrt{2} dt$ d'où on peut conclure que :

$$\int\limits_0^x\frac{dt}{2t^2+1} =\int\limits_0^{x\sqrt{2}}\frac{... ...0^{x\sqrt{2}}\frac{du}{u^2+1} =\frac{1}{\sqrt{2}}\arctan\left(x\sqrt{2}\right)$$

*

Suivant la même méthode, calculons l'intégrale

$$\int\limits_{a}^{x}\frac{dt}{t^{2}+\omega^{2}} \qquad\textrm{R\'{... ... \frac{1}{\omega}\left(\arctan\frac{x}{\omega} -\arctan\frac{a}{\omega}\right)$$

*

Calculons ${\displaystyle\int\limits_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2}}dt}$ en utilisant le changement de variable $t=\cos\phi$, avec la condition ${\displaystyle 0\leqslant\phi\leqslant\pi}$, ce qui revient à poser $\phi=\arccos t$. Avant d'aller plus loin, on remarque que c'est l'aire du quart de cercle trigonométrique supérieur droit. C'est donc $\frac{\pi}{4}$.

On a : $dt=-\sin\phi d\phi$, ce qui donne comme nouvelles bornes de l'intégrale : ${\displaystyle\frac{\displaystyle\pi}{\displaystyle 2}}$ et 0 (pris dans cet ordre).

La valeur obtenue est : ${\displaystyle\frac{\displaystyle\pi}{\displaystyle 4}}$

*

En utilisant un changement de variable, démontrons que si la fonction $f$ est paire, alors on a : ${\displaystyle\int\limits_{-b}^{-a} f(t) dt = \int\limits_{a}^{b}f(t) dt}$

*

En utilisant un changement de variable, démontrons que si la fonction $f$ est impaire, alors on a : ${\displaystyle\int\limits_{-b}^{-a} f(t) dt = -\int\limits_{a}^{b}f(t) dt}$. Que devient cette formule dans le cas où $a=0$, en appliquant la relation de Chasles?

*

Toujours par changement de variable, calculons : ${\displaystyle\int\limits_{a}^{x} \frac{\displaystyle dt}{\displaystyle\sqrt{1-4t^{2}}}}$

En posant $u=2t$, on trouve aussitôt $\frac{1}{2}\left[\arcsin 2x - \arcsin 2a\right]$.

Dans ce dernier cas, il est nécessaire et suffisant que les bornes a et x entre -1/2 et +1/2 (exclus si on n'envisage pas les intégrales généralisées).