MATHÉMATIQUES - CHIMIE 1 - CALCUL INTÉGRAL

Retour page d'accueil
Version Postscript

EXERCICE I

Soit $f$ une fonction définie sur I R et de période $T$. Démontrer que :

$${\displaystyle\int\limits_{x}^{x+T}f(t)\,dt= \int\limits_{0}^{T}f(t)\,dt}$$

On a tout d'abord : $\int\limits_{x}^{x+T}f(t)\,dt= \int\limits_{x}^{0}f(t)\,dt+\int\limits_{0}^{T}f(t)\,dt+ \int\limits_{T}^{x+T}f(t)\,dt$

Par ailleurs, on a : $\int\limits_{T}^{x+T}f(t)\,dt= \int\limits_{0}^{x}f(u+T)\,d(u+T)= \int\limits_{0}^{x}f(u)\,d(u)$

La conclusion est immédiate.

EXERCICE II

*

$\int\limits_a^x\frac{dt}{t^2+\omega^2} =\frac{1}{\omega^2}\int\limits_a^x \fra... ...an \left(\frac{x}{\omega}\right)- \arctan\left(\frac{a}{\omega}\right) \right]$

*

$$\int\limits_a^x t\sqrt{1+t^2}\,dt =\frac{1}{2}\int\limits_a^x 2t\... ...right)^{1/2}\,dt =\frac{1}{3}\left[\left(1+t^2\right)^{3/2}\right]_{t=a}^{t=x}$$

*

$$\int\limits_a^x\frac{\cos t}{1 + \sin t}\,dt =\ln\left\vert\frac{1+\sin x}{1+\sin a}\right\vert$$

*

$$\int\limits_a^x\frac{t}{\sqrt{t^2-2t+5}}\,dt =\int\limits_a^x\frac{(2t-2)\,dt}{2\sqrt{t^2-2t+5}} +\int\limits_a^x\frac{dt}{\sqrt{t^2-2t+5}}$$

La deuxième intégrale est égale à :

$$\int\limits_a^x\frac{dt}{\sqrt{\left(t-1\right)^2+4}} =\frac{1}{2}\int\limits_a^x \frac{dt}{\sqrt{\left(\frac{t-1}{2}\right)^2+1}}$$

En posant

$$u=\frac{t-1}{2}$$

dans la dernière intégrale, il vient :

$$\frac{1}{2}\int\limits_{(a-1)/2}^{(x-1)/2} \frac{2\,du}{\sqrt{u^2... ...rgsh}\,\left(\frac{x-1}{2}\right)-\,\textrm{argsh}\,\left(\frac{a-1}{2}\right)$$

Conclusion :

$\int\limits_a^x\frac{t\,dt}{\sqrt{t^2-2t+5}}$

$=\sqrt{x^2-2x+5}+\,\textrm{argsh}\,\left(\frac{x-1}{2}\right) -\sqrt{a^2-2a+5}-\,\textrm{argsh}\,\left(\frac{a-1}{2}\right)$

*

$$\int\limits_a^x\frac{t\,dt}{(t+1)\sqrt{t}}$$

. Posons alors $u=\sqrt{t}$, il vient alors $2u\,du=dt$.

On a alors :

$$\int\limits_a^x\frac{t\,dt}{(t+1)\sqrt{t}} =\int\limits_{\sqrt{a}... ...{u^2+1} =2\int\limits_{\sqrt{a}}^{\sqrt{x}} \left(1-\frac{1}{u^2+1}\right)\,du$$

$$=2(\sqrt{x}-\sqrt{a})-2(\arctan\sqrt{x}-\arctan\sqrt{a})$$

*

$$\int\limits_a^x\frac{dt}{t\,(\ln t)^3}$$

. En posant $u=\ln t$, on a aussitôt :

$$\int\limits_{\ln a}^{\ln x}\frac{du}{u^3} =-\frac{1}{2(\ln x)^2}+\frac{1}{2(\ln a)^2}$$

*

$$\int\limits_a^x\frac{t^5\,dt}{(1+t^2)^3} =\int\limits_a^x\left[\frac{t}{(1+t^2)^3}-\frac{2\,t}{(1+t^2)^2} +\frac{t}{1+t^2}\right]\,dt$$

$$=\left[-\frac{1}{4(1+t^2)^2}+\frac{1}{1+t^2} +\frac{1}{2}\ln(1+t^2)\right]_{t=a}^{t=x}$$

*

$$\int\limits_1^e\left(\ln t\right)^n\,\frac{dt}{t} =\int\limits_0^1 u^n\,du =\left[\frac{u^{n+1}}{n+1}\right]_{u=0}^{u=1}$$

 $&bull#bullet;$

$\int\limits_0^1 t^2\,\sqrt{1-t^2}\,dt =\int\limits_0^{\pi /2}\sin^2\phi\, \sqr... ...n^2\phi}\,\cos\phi\,d\phi =\int\limits_0^{\pi /2}\sin^2\phi\,\cos^2\phi\,d\phi$

En effet, on a $\cos\phi>0$ sur l'intervalle $[\,0\;;\;\pi /2\,]$. Il en résulte alors :

$\int\limits_0^1 t^2\,\sqrt{1-t^2}\,dt =\int\limits_0^{\pi /2} \frac{(1-\cos 2\... ...}{4}\,d\phi =\frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2}\left(\sin^2 2\phi\right)\,d\phi$

$=\frac{1}{4}\int\limits_0^{\pi /2} \left(\frac{1-\cos 4\phi}{2}\right)\,d\phi$ ...etc ...

$=\frac{1}{8}\int\limits_0^{\pi /2} \left(1-\cos 4\phi \right)\,d\phi =\frac{1}... ...int\limits_0^{\pi /2}d\phi -\frac{1}{8}\int\limits_0^{\pi /2}\cos 4\phi\,d\phi$

$=\frac{\pi}{16}$ car la dernière intégrale est nulle (intégration d'une fonction sinusoïdale sur une période).

 $&bull#bullet;$

$\int\limits_1^2\frac{dt}{\left(t^2-2t+4\right)^{3/2}} =\int\limits_1^2\frac{dt... ...imits_1^2 \frac{dt} {\left[\left(\frac{t-1}{\sqrt{3}}\right)^2+1\right]^{3/2}}$

$=\frac{1}{3\sqrt{3}}\int\limits_0^{1/\sqrt{3}} \frac{\sqrt{3}\,du}{\left(u^2+1... ...\ en posant\ }u=\frac{t-1}{\sqrt{3}} \textrm{\ Posons ensuite\ :\ } v=\tan\phi$

Il vient alors :

$\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi /6} \frac{(1+\tan^2\phi)\,d\phi}{(1+\tan^2\phi)^... ...^2\phi}} =\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi /6} \sqrt{\vert\cos^2\phi\vert}\,d\phi$

$=\frac{1}{3}\int\limits_0^{\pi /6} \cos\phi\,d\phi =\frac{1}{6}$

EXERCICE III

• $\int\limits_a^x t^n(\ln t)dt =\left[\frac{t^{n+1}}{n+1}\,\ln t\right]_{t=a}^{t=x} -\int\limits_a^x\frac{t^n}{n+1}\,dt$

  $=\left[\frac{t^{n+1}}{n+1}\ln t\right]_a^x -\left[\frac{t^{n+1}}{(n+1)^2}\right]_a^x$

• $\int\limits_a^x \arcsin t\,dt =\left[t \arcsin t \right]_a^x -\int\limits_a^x\... ... =\left[t \arcsin t \right]_a^x + \int\limits_a^x\frac{-2t\,dt}{2\sqrt{1-t^2}}$

  $=\left[t \arcsin t \right]_a^x + \left[\sqrt{1-t^2}\right]_a^x =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}-a\arcsin a -\sqrt{1-a^2}$

• $\int\limits_a^x\left(\arcsin t\right)^2\,dt =\left[t\left(\arcsin t\right)^2\right]_a^x -\int\limits_a^x t\frac{2\,\arcsin t}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$

  Or le deuxième terme s'écrit :

  $2\int\limits_a^x\frac{-2t}{2\sqrt{1-t^2}}\arcsin t\,dt =2\left[\sqrt{1-t^2}\,\arcsin t\right]_a^x-2\int\limits_a^x\,dt$

  $=2\left[\sqrt{1-t^2}\,\arcsin t-t\right]_a^x$ On en tire :

  $\int\limits_a^x\left(\arcsin t \right)^2\,dt =\left[t\left(\arcsin t\right)^2+2\sqrt{1-t^2}\, \arcsin t-2t\right]_{t=a}^{t=x}$

• $\int\limits_a^x\frac{t\,dt}{\cosh^2 t} =\left[t\,\tanh t\right]_a^x-\int\limits_a^x\tanh t\,dt =\left[t\,\tanh t-\ln(\cosh t)\right]_a^x$
• $\int\limits_a^x\ln(t^2+2t+3)\,dt =\left[t\,\ln(t^2+2t+3)\right]_a^x -\int\limits_a^x\frac{t(2t+2)}{t^2+2t+3}\,dt$

  $=\left[t\,\ln(t^2+2t+3)\right]_a^x -2\int\limits_a^x\frac{t^2+t}{t^2+2t+3}\,dt$

  Par aillleurs : $\int\limits_a^x\frac{(t^2+t)\,dt}{t^2+2t+3} =\int\limits_a^x\left(1-\frac{t+3}{t^2+2t+3}\right)\,dt$

  $=\int\limits_a^x\,dt -\frac{1}{2}\int\limits_a^x\frac{(2t+2)\,dt}{t^2+2t+2} -2\int\limits_a^x\frac{dt}{t^2+2t+3}$

  $=\left[t-\frac{1}{2}\ln(t^2+2t+3)\right]_a^x -2\int\limits_a^x\frac{dt}{t^2+2t+3}$

  La dernière intégrale vaut :

  $\int\limits_a^x\frac{dt}{(t+1)^2+2} =\frac{1}{2}\int\limits_a^x\frac{dt} {\lef... ...rac{\sqrt{2}}{2}\int\limits_{(a-1)/\sqrt{2}}^{(x-1)/\sqrt{2}} \frac{du}{u^2+1}$

  $=\frac{1}{\sqrt{2}} \left[\arctan\frac{t+1}{\sqrt{2}}\right] _{(a+1)/\sqrt{2}}^{(x+1)/\sqrt{2}}$

  On en tire alors : $\int\limits_a^x\ln(t^2+2t+3)\,dt$

  $=\left[t\ln(t^2+2t+3)-2t+\ln(t^2+2t+3) +\frac{4}{\sqrt{2}}\arctan\left(\frac{t+1}{\sqrt{2}}\right)\right]_a^x$

EXERCICE 4

• $\int\limits_a^x\cos t \cos 3t \,dt =\frac{1}{2}\int\limits_a^x\left(\cos 2t + \cos 4t\right)\,dt$

  $=\frac{1}{4}\sin 2x + \frac{1}{8}\sin 4x - \frac{1}{4}\sin 2a - \frac{1}{8}\sin 4a$

• $\int\limits_a^x \cos^4 t\,dt =\int\limits_a^x \left(\frac{1+\cos 2t}{2}\right)^2\,dt =\frac{1}{4}\int\limits_a^x\left(1+2\cos 2t + \cos^2t\right)\,dt$

  $=\frac{1}{4}\int\limits_a^x\left(1+2\cos 2t + \frac{1+\cos 4t} {2}\right)dt$

  $=\frac{3(x-a)}{8}+\frac{\sin 2x -\sin 2a}{4} +\frac{\sin 4x-\sin 4a}{32}$

• $\int\limits_a^x\frac{dt}{\cos t+\sin t} =\frac{1}{\sqrt{2}} \int\limits_a^x\frac{dt}{\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)}$

  $=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{a+\pi/4}^{x+\pi/4} \frac{dt}{\sin t}$

  $=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{a+\pi/4}^{x+\pi/4} \frac{1+\tan^2\frac{t}{2}}{2\tan\frac{t}{2}}\,dt$

  $=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_\alpha^\beta\frac{2dv}{2v}\,dv \textrm{\ avec \... ...pi}{8}\right) \textrm{\ et \ }\beta=\tan\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{8}\right)$

  $\frac{1}{\sqrt{2}}\,(\ln\beta - \ln\alpha) =\frac{1}{\sqrt{2}}\, \ln\left\vert... ...\sqrt{2}}\, \ln\left\vert\tan\left(\frac{a}{2}+\frac{\pi}{8}\right)\right\vert$

• $\int\limits_a^x\sin^5t\,dt =\int\limits_a^x\left(1-\cos^2t\right)^2\sin t\,dt =\int\limits_{\cos a}^{\cos x}\left(1-u^2\right)^2(-du)$

  On développe et la suite du calcul est évidente.

• $\int\limits_a^x\frac{dt}{1+\sin^2t} \textrm{\ On sait que \ :\ } \sin^2 t=\frac{\tan^2t}{1+\tan^2t} \textrm{\ et on pose\ :\ }u=\tan t$

  On obtient alors :

  $\int\limits_a^x\frac{dt}{1+\sin^2t} =\int\limits_a^x\frac{(1+\tan^2t)\,dt}{1+2\tan^2t} =\int\limits_{\tan a}^{\tan x}\frac{du}{2u^2+1}$

  $$=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits_{\sqrt{2}\tan a}^{\sqrt{2}\tan x} \frac{dv}{v^2+1}$$

  $$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\arctan(\sqrt{2}\tan x) -\arctan(\sqrt{2}\tan a)\right]$$