EXERCICES SUR LES DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS

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1. Somme de deux DL du même ordre :

   Développer à l'ordre 6 $\cos x +\exp x - x -2$.

   Trouver la partie principale de cette expression au voisinage de zéro (le premier terme non nul). On trouve :

   $1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!} +1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!} +\frac{x^{5}}{5!}+\frac{x^{6}}{6!}-2-x + o(x^{6})$

   $=\frac{x^{3}}{6}+\frac{x^{4}}{12}+\frac{x^{5}}{120}+o(x^{6})$

   La partie principale est donc un infiniment petit d'ordre 3.

2. Produit de deux dl d'ordres n :
   1. Développer à l'ordre 3 $e^{x}(1+x)^{1/3}$ au voisinage de 0.

      $\left[1+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})\right] \left[1+\frac{x}{3}-\frac{x^{2}}{9}+\frac{5x^{3}}{81}+o(x^{3})\right]$

      $=1+\frac{4}{3}x+\frac{13}{18}x^{2}+\frac{23}{81}x^{3}+o(x^{3})$

   2. De même, $(\cos x)\sqrt{1+x}$ à l'ordre 3.

      $\left[1-\frac{x^{2}}{2}+o(x^{3})\right] \left[1+\frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{8}+\f... ...16}+o(x^{3})\right] =1+\frac{x}{2}-\frac{5}{8}x^{2}-\frac{3}{16}x^{3}+o(x^{3})$

3. Etude locale d'une fonction :
   $$\textrm{On pose}\quad f(x)=\frac{1-\cos x}{x}$$
   1. Montrer que $f(x)$ admet au voisinage de 0 un développement limité à l'ordre 4 et calculer ce développement limité.

      La fonction cos admet des développements limités à n'importe quel ordre, en particuler á l'ordre 5 :

      $$\cos x-1=-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}+x^{5}\epsilon(x)$$
      Divisons chaque membre de cette inégalité par -x, on obtient :
      $$f(x)=\frac{x}{2}-\frac{x^{3}}{24}-x^{4}\epsilon(x)$$
      On voit ainsi que $f(x)$ est, au voisinage de 0, la somme d'un polynôme de degré 3, donc inférieur ou égal à 4, et d'un infiniment petit d'ordre supérieur à 4. C'est, par définition, un développement de limité de $f(x)$ à l'ordre 4.

   2. Prolonger la fonction f en 0 par continuité et montrer que $f'(0)$ existe.

      On immédiatement :

      $$\lim\limits_{x\mapsto 0}f(x)= \lim\limits_{x\mapsto 0}\left[ \frac{x}{2}-\frac{x^{2}}{24}+x^{3}\epsilon(x)\right]= 0$$
      On peut donc prolonger f en 0 par : $f(0)=0$

   3. Donner l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse nulle. Le développement limitéau voisinage de 0 montre la tangente à l'origine a pour équation $y=\frac{x}{2}$. L'infiniment petit qui suit est du signe de -x. Elle est donc sous la tangente à l'origine à droite de 0, au dessus à gauche de 0.
4. Etude d'une forme indéterminée :

   $\lim_{x\to 0} \frac{\quad(1+x)\sqrt{1+x}-1-{\displaystyle\frac{3}{2}x}\quad}{x... ...lim_{x\to 0}\frac{\quad(1+x)^{3/2}-1 -{\displaystyle\frac{3}{2}x}\quad}{x^{2}}$

   $=\lim_{x\to 0} \frac{1}{x^{2}}\left(1+\frac{3}{2}x+\frac{3}{8}x^{2}+o(x^{2}) -1-\frac{3}{2}x\right) =\frac{3}{8}$

5. Rapport de deux développements limités à l'ordre n :

   Il suffit de diviser suivant les puissances croissantes le numérateur par le dénominateur à l'ordre n.

   Exemples de développement d'un rapport à l'ordre 3.

   1. $\frac{1}{1+e^{x}} =\frac{1}{\displaystyle 2+x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{6}} =\frac{1}{2}-\frac{x}{4}+\frac{x^{3}}{48}+o(x^{3})$

   2. Développement de $(\sin x)(1-x)^{-1}$

      On peut, au choix, multiplier la partie principale d'ordre 3 par la partie régulière d'ordre 3 de $(1-x)^{-1}$ ou encore diviser suivant les puissances croissantes la partie régulière d'ordre 3 du numérateur par $1-x$ suivant les puissances croissantes.

      $\frac{\sin x}{1-x}=x+x^{2}+\frac{5x^{3}}{6}+x^{3}\epsilon(x)$

   3. Développement de $\,\textrm{tg}\,x$ à l'ordre 3 : $\,\textrm{tg}\,x=\frac{\sin x}{\cos x}=x + \frac{x^{3}}{3}+\frac{2}{15}x^{5} +x^{6}\epsilon(x)$
   4. Trouver le développement limité de $\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}$ successivement au voisinage de 0 puis de $+\infty$.
   5. Développer $\frac{1}{1+x}$ à l'ordre n puis en déduire celui de $\ln(1+x)$ à l'ordre $n+1$.
   6. Faire de même pour $\frac{1}{1+x^{2}}$ et en déduire le développement de $\,\textrm{arctg}\,x$ à l'ordre $2n+1$.
6. Questions diverses :
   1. Dans l'hypothèse où $f^{(2)}(x)$ existe et où f est de classe $C^{1}$ au voisinage de x, déterminer : $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$.
   2. Dans l'hypothèse où $f^{(3)}(x)$ existe et où f est de classe $C^{2}$ au voisinage de x, déterminer : $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}$.

   3. Soit $f(x)=1+x+x^{2}+x^{3}+ \left\vert x^{5}\right\vert$. Développer $f(x)$ à l'ordre 0, 1, 2, 3, 4. En utilisant la formule de Taylor-Young, peut-on en déduire les valeurs en 0 pour la fonction ainsi que ses dérivées successives?

   4. Calculer $\lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos a\,x)}{\ln(\cos b\,x)}$.
   5. Calculer $\lim_{x\to 0}\frac{\,\textrm{arctg}\,x -x}{\sin x - x}$.
   6. Calculer $\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{\strut{x+3}}-\sqrt[3]{\strut{3x+5}}} {\displaystyle 1-\,\textrm{tg}\,(\pi\,x/4)}$
   7. Soit $f(x)=\frac{\sqrt{\strut{x+2}}-2}{\sqrt{\strut{x+7}}-3}$.

      En posant $h=x-2$, développer $f(x)$ à l'ordre (?) au voisinage de $x=2$ et en déduire $\lim_{x\to2}f(x)$.

      Trouver, à partir du résultat précédent la limite au voisinage de 2 du rapport

      $\frac{f(x)-3/2}{x-2}$.