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EXERCICE I

1) Calculer les transformées de Laplace des fonctions suivantes :

$\mathcal{U}(t)e^{-t}$

$\mathcal{U}(t)(1+t+t^{2})$

$\mathcal{U}(t)\sin2\pi\,t$

$\mathcal{U}(t-3)\sin\omega(t-3)$

2) Calculer les originales des fonctions suivantes :

$\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{5}}$

$\frac{e^{-2x}}{x^{2}}+\frac{e^{-3x}}{x^{3}}$

$\frac{1}{{x}^{2}+4\pi^{2}}$

$\frac{x+1}{(x+1)^{2}+4}$

EXERCICE II

Retrouver l'origjnale de $\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ en utilisant le produit de convolution.

EXERCICE III

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1) Résoudre l'équation : $y^{\prime}+y=\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)$

2) Résoudre l'équation : $y^{\prime\prime}+y=\mathcal{U}(t)\sin t$ en imposant les conditions $y = 0$ et $y^{\prime}=0$ pour $t=0$ .

EXERCICE IV

1) Trouver l'image du créneau nul en dehors de $[0\;;\;1[$ et égal à 1 sur ce même créneau.

2) Trouver l'image du créau de période 2 obtenu par duplication à l'infini du créneau du (1)?

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SOLUTION

EXERCICE I

1) Calcul des images :

Originale	$\mathcal{U}(t)e^{-t}$	$\mathcal{U}(t)(1+t+t^{2})$	$\mathcal{U}(t)\sin2\pi\,t$	$\mathcal{U}(t-3)\sin\omega(t-3)$
Image	$\frac{1}{x+1}$	$\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{2}{x^{3}}$	$\frac{2\pi}{x^{2}+4\pi^{2}}$	$\frac{\omega e^{-3x}}{{x}^{2}+\omega^{2}}$

2) Calcul des originaux :

Image	$\frac{1}{x^{4}}+\frac{1}{x^{6}}$	$\frac{e^{-2x}}{x}+\frac{e^{-3x}}{x^{2}}$	$\frac{1}{x^{2}+4\pi^{2}}$	$\frac{x+1}{(x+1)^{2}+4}$
Originale	$\left(\frac{t^{3}}{3!}+ \frac{t^{5}}{5!}\right)\mathcal{U}(t)$	$\mathcal{U}(t-2)+(t-3)\mathcal{U}(t-3)$	$\frac{\mathcal{U}(t)}{2\pi}\sin 2\pi\,t$	$e^{-t}\mathcal{U}(t)\cos 2t$

EXERCICE II

On sait qu'un produit de convolution se transforme en produit des images.

Or $\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ est le produit de $\frac{1}{x^{2}+1}$ par elle-même.

Cette dernière expression étant l'image de $\mathcal{U}(t)\sin t$ , on conclut que l'originale de $\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$ est

$$\int\limits_{0}^{t}(\sin u)\sin(t-u)\,du = \frac{\mathcal{U}(t)}{2}(\sin t - t\cos t)$$

EXERCICE III

1) Résolution de $y^{\prime}+y=\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)$

En appliquant à chaque membre la transformé de Laplace, on obtient :

$(x+1)F(x)=f(0)+\frac{1}{x}-\frac{e^{-x}}{x} \Longrightarrow F(x)=\frac{f(0)}{x+1}+ \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+ \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)\,e^{-x}$

$\Longrightarrow f(t)=f(0)e^{-t}+\mathcal{U}(t)(1-e^{-t})+ \mathcal{U}(t-1)(1-e^{-t+1})$

2) Résolution de : $f^{\prime\prime}(t)+f(t)=\mathcal{U}(t)\sin t$

En appliquant à chaque membre la transformé de Laplace, et en imposant les conditions initiales sur y et $y^{\prime}$ , on obtient : $F(x)=\frac{1}{(x^{2}+1)^{2}}$

$f(t)$ est donc le produit de convolution de $\mathcal{U}(t)\sin t$ par elle-même, c'est-à-dire :

$f(t)=\int\limits_{0}^{t}(\sin u)\sin(t-u)\,du= \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{t}\... ...}{2}\int\limits_{0}^{t}\cos(t)\,du= \frac{\mathcal{U}(t)}{2}(\sin t - t\cos t)$

EXERCICE IV