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CHIMIE 2 - MATHEMATIQUES -09/11/2005

EXERCICE I

On mesure les temps de réponse entre deux ordinateurs en réseau. On effectue deux séries de mesures. On obtient les durées suivantes, en ms :

Série 1	1,53	1,46	1,44	1,46	1,46
Série 2	1,55	1,47	1,49	1,46	1,48

1) Rappeler les formules littérales donnant les estimations de l'espérance et de l'écart type d'une série.

2) Donner ces valeurs avec quatre chiffres significatifs.

3) Encadrer, pour chaque série, la moyenne arithmétique au niveau de confiance de 0,90. On précise qu'une variable de Student X à 4 ddl vérifie l'inégalité :

$$P(-2,1318 < X < 2,1318)=0,90$$

On est prié(e) de justifier le calcul.

4) Tester au niveau de confiance de 0,90 l'hypothèse d'égalité des écart types théoriques et en déduire l'estimateur (fusionné) de l'écart type théorique commun. La probabilité pour qu'une variable de Fischer à 4;4 ddl tombe à droite de 6,388 est de 0,05.

5) Si cela est possible, tester au niveau de confiance de 0,9 l'égalité des espérances.

La borne supérieure de l'intervalle bilatéral de Student pour 8 ddl à 0,9 est 1,8595

EXERCICE II

On considère une fonction f définie par $f(x)=0$ sur l'intervalle $]-\infty\;;\;0\,[$ et $f(x)=\lambda\,e^{-\lambda\,x}$ sur l'intervalle $[\,0\;;\;+\infty\,[$. La constante $\lambda$ est strictement positive.

1) Démontrer que f est une densité de probabilité.

2) On suppose que la fonction f est la densité de probabilité d'une variable X.

a) Déterminer la probabilité pour qu'une mesure tombe dans l'intervalle $]\,-\infty\;;\;0\,[$.

b) On pose $F(x)=P(X\leqslant x)$. Comment appelle-t-on la fonction F? Calculer $F(x)$, en distinguant les cas $x < 0$ et $x\geqslant 0$.

c) Rappeler ce qu'est l'espérance d'une variable admettant la densité f. En déduire l'espérance de X.

3) On admet que $F(x)$ est la proportion d'atomes qui vont se désintégrer dans un échantillon radioactif entre l'intant 0 et l'instant x, c'est-à-dire que :

$$\frac{N(0)-N(x)}{N(0)}=F(x)$$

Dans cette relation, $N(x)$ est le nombre d'atomes subsistant à l'instant x. Calculer en fonction de x et de $\lambda$ le nombre d'atomes restant à l'instant x.

4) Combien d'atomes vont se désintégrer entre les instant x et $x+\Delta x$, avec $\Delta x > 0$ ?

5) Quelle porportion d'atomes, ramenée à ceux qui restaient à l'instant x, va disparaître entre x et $x+\Delta x$, avec $\Delta x > 0$ Quelle conclusion bien connue peut-on en tirer?

EXERCICE I

1) Estimateur de l'espérance : $\,\overline{\strut{x}}\,=\frac{\sum\limits_{k=1}^{n}x_{k}}{n-1}$, Estimateur de l'écart type : $s=\sqrt{\frac{\sum\limits_{k=1}^{k=n}(x_{k}-\,\overline{\strut{x}}\,)^{2}}{n-1}}$

2) On obtient alors : $\,\overline{\strut{x}}\,_{1}\simeq1,470\qquad \,\overline{\strut{x}}\,_{2}\simeq1.490$         $s_{1}\simeq0,03464\qquad s_{2}\simeq0,03535$

3) Si une variable X est gaussienne, alors la variable : $\frac{\,\overline{\strut{X}}\,-\bar{x}}{s/\sqrt{n}}$ suit la densité de Student à $n-1$ ddl. Avec $n=5$, ce type de variable a une probabilité de 0,9 pour tomber dans l'intervalle $[\,-2,13847\;;\;+2,13847\,]$ On aura donc

$$1,470-2,13847\,\frac{0,3464}{\sqrt{5}}<\,\overline{\strut{X}}\,_{... ...0+2,13847\,\frac{0,3464}{\sqrt{5}}\iff 1,437<\,\overline{\strut{X}}\,_{1}<1,503$$

De même, on trouve : $1,456<\,\overline{\strut{X}}\,_{2}<1,523$

4) Si $\sigma_{1}=\sigma_{2}$ alors le rapport $s_{1}^{2}/s_{2}^{2}$ est une varaible de Fisher à 4 et 4 ddl. Dans ce cas, il a une probabilité de 0,90 pour tomber dansl'intervalle $\left[F_{44}(0,95)\;;\;F_{44}(0,05)\right]$. Si c'est le cas, alors on accepte l'hypothèse $\sigma_{1}=\sigma_{2}$. On a : $F_{44}(0,05)\simeq6,3882$

Par ailleurs, $F_{44}(0,95)=\frac{1}{F_{44}(0,05)}\simeq \frac{1}{6,3882}\simeq0,15653$On accepte donc l'hypothèse $\sigma_{1}=\sigma_{2}$ et on estime le $\sigma^{2}$ commun par : $\frac{s_{1}^{2}+s_{2}^{2}}{2}\simeq1,225\times10^{-3}$ du fait de l'égalité des effectifs.

5) Si les espérances sont égales, alors le rapport $\frac{\,\overline{\strut{X}}\,_{1}-\,\overline{\strut{X}}\,_{2}}{s/\sqrt{1/n_{1}+1/n_{2}}}$ suit la loi de Student à $n_{1}-1+n_{2}-1$ DDL. Il vaut 0,9035, ce qui est bien dans l'intervalle de confiance à 90% pour une variable de Student à 8 ddl.

EXERCICE II

1) Montrons que f est une densité de probabilité :

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(t)\,dt= \int\limits_{0}^{+\infty}\lambda\,e^{-\lambda\,t}dt= \left[-e^{-\lambda\,t}\right]_{0}^{+\infty}=1\qquad$, quod erat demonstrandum.

2) f est la densité de la variable X.

a) La densité étant nulle sur $]\,-\infty\;;\;0\,[$ la probabilité de tomber dans cet intervalle est nulle.

b) F est la fonction de répartition gauche.

$x<0\Longrightarrow F(x)=\int\limits_{-\infty}^{x}f(t)\,dt= \int\limits_{-\infty}^{x}0\,dt=0$

$x\geqslant 0\Longrightarrow F(x)=\int\limits_{0}^{x}\lambda\,e^{-\lambda\,t}\,dt= \left[-e^{-\lambda\,t}\right]_{t=0}^{t=x}= 1-e^{-\lambda\,x}$

c) Espérance $\,\textrm{E}\,(X)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}t\,f(t)\,dt= \left[t(-e^{-\la... ...^{+\infty}- \int\limits_{0}^{+\infty}(-e^{-\lambda\,t})\,dt =\frac{1}{\lambda}$

3) On obtient aussitôt : $N(x)=N(0)\left[1-F(x)\right]=N(0)\,e^{-\lambda\,x}$.

4) Le nombre de désintégrations entre les instants x et $x+\Delta x$ est alors

$$N(x)-N(x+\Delta\,x) = N(0)\,e^{-\lambda x}\left(1-e^{-\lambda\,\Delta x}\right)$$

5) La proportion d'atomes qui va disparaître entre l'instant x et l'instant $x+\Delta x$, ramenée à la quantité restant à l'instant x est alors : $\frac{N(x)-N(x+\Delta\,x)}{N(x)}= 1-e^{-\lambda\,\Delta x}$ Ceci prouve que la probabilité de disparition d'un atome pendant un intervalle de temps fixé est indépendante de la date du début de l'intervalle, elle reste la même au cours du temps. On dit que l'atome instable ne "vieillit" pas.

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