Il sera tenu le plus grand compte de la rédaction : évitez à tout prix le charabia, les flèches qui ne veulent rien dire, les abréviations télégraphiques, les mises en page où tout est disposé n'importe comment. Si la réponse à une question tient dans une seule formule ou une égalité, précisez de quoi il s'agit.

EXERCICE I

Un plan d'expériences $2^{3}$ dépend de la température $X_{1}$, de la presssion $X_{2}$ et de la concentration $X_{3}$. Ces trois paramètres sont respectivement compris entre 300 K et 350 K, 2 bars et 4 bars, 0,4 et 0,6 mol/L. Les mesures effectuées pour la réponse du paramètre y montrent que l'on a à peu près :

$$y=50+10x_{1}+20x_{2}-8x_{1}x_{2}+ 15x_{3}-10x_{1}x_{3}-8x_{2}x_{3}+5x_{1}x_{2}x_{3}$$

Dans cette expression, $x_{1},\;x_{2},\;x_{3}$ sont les variables réduites associées à $X_{1},\;X_{2},\;X_{3}$

1) A partir de l'expression algébrique de la réponse y, donner les valeurs numériques des effets et des interactions, ainsi que la réponse au centre du domaine expérimental.

2) Calculer la réponse dans le cas : $X_{1}=325,\quad X_{2}=3,\quad X_{3}=0,5$

3) En réalité, ce plan $2^{3}$ est la simplification d'un plan $2^{3+2}$ découpé par les conditions $x_{5}=x_{1}x_{2}x_{3}$ et $x_{4}=x_{2}x_{3}$. Donner l'expression algébrique de y en fonction des contrates $l_{i}$ et $l_{ij}$, des variables réduites $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, $x_{4}$, $x_{5}$, en précisant la valeur numérique des coefficients $l_{i}$ et $l_{ij}$.

4) A partir des relations $x_{5}=x_{1}x_{2}x_{3}$ et $x_{4}=x_{2}x_{3}$, donner la matrice Y de huit réponses $y_{ijklm}$ à mesurer. On ne demande pas les valeurs numériques des éléments de y.

5) Donner l'expression algébrique du contraste $l_{4}$ en fonction des effets et interactions des cinq facteurs, sans rien négliger. On détaillera complètement le calcul.

EXERCICE II

1) Donner les transformées de Laplace des fonctions suivantes :

$$t^{\pi}\mathcal{U}(t);\qquad e^{-3t}\mathcal{U}(t);\qquad e^{-t}(\cos\pi\,t+\sin\pi\,t)\mathcal{U}(t);\qquad (t-1)\,\mathcal{U}(t-1)$$

2) Donner les originales des fonctions suivantes :

$$\frac{x+3}{x^{2}+4};\qquad \frac{x\,e^{-3x}}{x^{2}+2};\qquad \fra... ...2}+10x+29};\qquad \frac{e^{-x}}{x}+\frac{e^{-2x}}{x^{2}}+\frac{e^{-3x}}{x^{3}}$$

EXERCICE III

On rappelle que : $\forall k \in$   I N$\quad\sin(\alpha+k\pi)=(-1)^{k}\sin\alpha$

1) Montrer que $\mathcal{U}(t-1)\sin\pi(t-1)=-\mathcal{U}(t-1)\sin\pi\,t$

2) Trouver la transformée de Laplace de $\left[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)\right]\sin\pi\,t$

3) Décomposer $\frac{1}{(x+1)(x^{2}+\pi^{2})}$ sous la forme $\frac{a}{x+1}+\frac{bx+c}{x^{2}+\pi^{2}}$

4) Résoudre l'équation différentielle : $f^{\prime}(t)+f(t)= \left[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)\right]\sin\pi\,t$

EXERCICE I

1) Calcul des effets et interactions.

Il sont directement lisibles dans le modèle théorique dont on tire le tableau ci-dessous :

$y_{0}$	$e_{1}$	$e_{2}$	$e_{12}$	$e_{3}$	$e_{13}$	$e_{23}$	$e_{123}$
$50$	$10$	$20$	$-8$	$15$	$-10$	$-8$	$0,5$

Sur ce tableau figure la constante $y_{0}$ qui n'est ni un effet ni une interaction mais la réponse au centre du domaine expérimental, lorsque toutes les variables sont au milieu de l'intervalle qui leur est imparti.

2) Lorsque $X_{1}=325,\quad X_{2}=3,\quad X_{3}=0,5$ les variables réduites sont toutes nulles et on trouve $y=y_{0}=50$.

3) Valeurs numériques des contrastes :

$l_{0}$	$l_{1}$	$l_{2}$	$l_{12}$	$l_{3}$	$l_{13}$	$l_{4}$	$l_{5}$
$50$	$10$	$20$	$-8$	$15$	$-10$	$-8$	$0,5$

On en tire l'expression de y : $y=50+10x_{1}+20x_{2}-8x_{1}x_{2}+ 15x_{3}-10x_{1}x_{3}-8x_{4}+5x_{3}$

4) Matrice des réponses à mesurer : les éléments sont, de la première à la huitième ligne :

$$y_{11121};\quad y_{21122};\quad y_{12112};\quad y_{22111};\quad y_{11212};\quad y_{21211};\quad y_{12221};\quad y_{22222}$$

5) Expression du contraste $l_{4}$

$$\left\lbrace \begin{array}{l@{\ =\ }l} x_{4} & x_{2}x_{3} \\ x_{... ...}\right. \Longrightarrow x_{4}=x_{2}x_{3}=x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}x_{5}=x_{1}x_{5}$$

Il en résulte que $l_{4}=e_{4}+e_{23}+e_{12345}+e_{15}$

EXERCICE II

1) Calcul des images

$t^{\pi}\,\mathcal{U}(t)$ a pour image $\frac{\Gamma(\pi+1)}{x^{\pi+1}}$ $e^{-3t}\,\mathcal{U}(t)$ a pour image $\frac{1}{x+3}$

$e^{-t}(\cos\pi\,t+\sin\pi\,t)\,\mathcal{U}(t)$ a pour image $\frac{x+1+\pi}{x^{2}+\pi^{2}}$ $(t-1)\,\mathcal{U}(t-1)$ a pour image $\frac{e^{-x}}{x}$

2) Calcul des originales

$\frac{x+3}{x^{2}+4}$ a pour originale $\left(\cos 2\,t+\frac{3}{2}\sin 2\,t\right)\,\mathcal{U}(t)$; $\frac{x\,e^{-3x}}{x^{2}+2}$ a pour originale $\mathcal{U}(t-3)\,\cos (t-3)\sqrt{2}$;

$\frac{x}{x^{2}+10x+29}$ a pour originale $\mathcal{U}(t)\,e^{-5t}\left(\cos 2\,t-\frac{5}{2}\sin 2\,t\right)$;

$\frac{e^{-x}}{x}+\frac{e^{-2x}}{x^{2}}+\frac{e^{-3x}}{x^{3}}$ a pour originale $\mathcal{U}(t-1)+(t-2)\mathcal{U}(t-2) +\frac{1}{2}(t-3)^{2}\mathcal{U}(t-3)$

EXERCICE III

1) Transformation de $\mathcal{U}(t-1)\,\sin\pi(t-1)$. On a immédiatement :

$\mathcal{U}(t-1)\,\sin\pi(t-1)= \mathcal{U}(t-1)\,\sin(\pi\,t-\pi)= -\mathcal{U}(t-1)\,\sin(\pi\,t)$

2) Image de $[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)]\sin\pi\,t$.

On a : $[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)]\sin\pi\,t= \mathcal{U}(t)\,\sin\pi\,t+\mathcal{U}(t-1)\,\sin\pi\,(t-1)$

Donc l'image de $\left[\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t-1)\right]\sin\pi\,t$ est égale à : $\frac{\pi\,(1+e^{-x})}{x^{2}+\pi^{2}}$

3) Décomposition en éléments simples :

$\frac{1}{(x+1)(x^{2}+\pi^{2})}=\frac{a}{x+1}+\frac{b\,x+c}{x^{2}+\pi^{2}}$

On obtient a instantanément en multipliant le rapport par $x+1$ puis en remplaçant x par $-1$ dans l'expression obtenue. On en tire :

$\frac{1}{(x+1)(x^{2}+\pi^{2})}= \frac{1}{(1+\pi^{2})(x+1)}+\frac{b\,x+c}{(1+\pi^{2})(x^{2}+\pi^{2})}$

Remplaçons x par 0 dans cette dernière égalité : $\frac{1}{\pi^{2}}= \frac{1}{1+\pi^{2}}+\frac{c}{(1+\pi^{2})\,\pi^{2}}$

On en tire $=\frac{1}{1+\pi^{2}}$, d'où : $\frac{1}{(x+1)(x^{2}+\pi^{2})}= \frac{1}{(1+\pi^{2})(x+1)}+\frac{(1+\pi^{2})b\,x+1}{(1+\pi^{2})(x^{2}+\pi^{2})}$

$\frac{1}{(x+1)(x^{2}+\pi^{2})}= \frac{1}{(1+\pi^{2})(x+1)}-\frac{x-1}{(1+\pi^{2})(x^{2}+\pi^{2})}$

4) Equation différentielle :

En appliquant à chaque membre la transformée de Laplace, il vient :

$F(x)=\frac{f(0)}{x+1}+ \frac{\pi(1+e^{-x})}{(x+1)(x^{2}+\pi^{2})}= \frac{f(0)}... ...frac{(x-1)}{(x^{2}+\pi^{2})}\right] \frac{\pi\left(1+e^{-x}\right)}{1+\pi^{2}}$

On en tire enfin :

$f(t)=f(0)\,e^{-t}\mathcal{U}(t)+ \frac{\mathcal{U}(t)}{1+\pi^{2}}\left( \pi\,e... ...}(t-1)}{1+\pi^{2}}\left[ \pi\,e^{-t+1}-\pi\cos\pi\,(t-1)+\sin\pi\,(t-1)\right]$