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CHIMIE 1 - MATHEMATIQUES - 06/12/2006

Toutes les questions doivent être rédigées.

La confusion majuscules/minuscules est sanctionnée.

CALCULATRICES INTERDITES.

EXERCICE I $j = \cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}$

On considère trois points $\textrm{A}(a),\quad\textrm{B}(b), \quad\textrm{C}(c)$ dans le plan complexe.

On donne $a=2i,\quad b=2ij,\quad c=2ij^{2}$

1) Calculer $\left\vert a\,\right\vert,\quad \left\vert b\,\right\vert,\quad\left\vert c\,\right\vert$

2) En déduire le centre et le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC

3) Quelle relation a-t-on entre $b$ et $a$ d'une part, entre $c$ et $b$ d'autre part? En déduire la nature du triangle ABC.

4) Prouver que $a+b+c=0$.

EXERCICE II $f(z) = \frac{z+1}{z^{2}(z^{2}+z+1)}$

1) Eléments simples de première espèce :

• Décompooser en éléments simples de 1ere espèce : $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)(x-3)}$
• Trouver une primitive de $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)(x-3)}$

2) Fraction avec pôle multiple et élément simple de deuxième espèce :

• Diviser $1+x$ par par $1+x+x^{2}$ suivant les puissances croissantes à l'ordre 1.

• Déduire de ce qui précède les quatre constantes a, b, c, d, telles que
  $$\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+x+1)}= \frac{a}{x}+\frac{b}{x^{2}}+\frac{cx+d}{x^{2}+x+1}$$

EXERCICE III

1) Déterminer l'intervalle de définition de l'expression $\phi=\arcsin x +\arcsin\sqrt{1-x^{2}}$

2) Déterminer sur quel intervalle $\phi$ est dérivable par rapport à x.

3) On rappelle que la dérivée de $\arcsin u$ est $\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$, celle de $\sqrt{u}$ est $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

Dériver $\arcsin(\sqrt{1-x^{2}})$ sur l'intervalle où c'est possible.

4) En utilisant $\frac{d\phi}{dx}$, démontrer que $\phi$ est une constante sur un intervalle que l'on précisera.

SOLUTION

EXERCICE I

1) On a évidemment : $\left\vert 2i\right\vert=\left\vert 2j\right\vert=2$. Il en résulte que : $\left\vert a\right\vert=\left\vert b\right\vert=\left\vert c\right\vert=2$

2) Il en résulte que $\textrm{OA}=\textrm{OB}=\textrm{OC}$, ce qui prouve que le cercle de centre O et de rayon 2 est circonscrit au triangle ABC.

3) On a les relations $b=a\,j$ et $c=b\,j$. Il en résulte que $\,\textrm{arg}\,\left(\frac{b}{a}\right)=(\overrightarrow{\textrm{OA}},\overri... ...})= (\overrightarrow{\textrm{OB}},\overrightarrow{\textrm{OC}})= \frac{2\pi}{3}$ Ceci prouve que le triangle ABC est équilatéral.

EXERCICE II

1) On a : $\frac{x-1}{(x+1)(x-2)(x-3)}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-2}+\frac{c}{x-3}$

En multipliant chaque membre par $x-1$ puis en remplaçant x par 1 on obtient ausssitôt :

$$a=\frac{-1-1}{(-1-2)(-1-3)}=-\frac{1}{6}$$

On trouve les autres constantes d'une manière analogue. On a alors

$$\frac{x-1}{(x+1)(x-2)(x-3)}= -\frac{1}{6(x+1)}-\frac{1}{3(x-2)}+\frac{1}{2(x-3)}$$

2) On en tire une primitive : $-\frac{1}{6}\ln\left\vert x+1\right\vert-\frac{1}{3}\ln\left\vert x-2\right\vert+ \frac{1}{2}\ln\left\vert x-3\right\vert$

EXERCICE III

La division de $1+x$ par $1+x+x^{2}$ à l'ordre 1 sécrit :

$$1+x=(1+x+x^{2})\,1-x^{2}$$

On est bien à l'ordre 1 car on le plus forte puissance de x que l'on peut mettre en facteur danse le reste est $x^{2}$. Divisons chaque membre par $x^{2}(x^{2}+x+1)$. Il vient :

$$\frac{x+1}{x^{2}(x^{2}+x+1)}=\frac{1}{x^{2}} -\frac{1}{x^{2}+x+1}$$

EXERCICE IV

1) $\phi(x)$ existe si et seulement si $\left\vert x\right\vert \in [0;1]$ et $\sqrt{1-x^{2}} \in [0;1]$. Ces deux conditions aboutissent aussitôt à $-1\leqslant x \leqslant +1$

2) La fonction $\phi(x)$ est non dérivable pour les valeurs de it x rendant son argument égal à 1. Il faut donc exclure les valeurs -1, +1, 0. Elle est dérivable sur $]\,-1\;;\;0\,[$ ainsi que sur $]\,0\;;\;1\,[$

3)

$$\frac{d\phi(x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+ \frac{1}{\sqrt{1-(1... ...2}}} =\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}-\frac{x}{\left\vert x\right\vert\sqrt{1-x^{2}}}$$

On constate que $\frac{d\phi(x)}{dx}=0$ sur $]\,0\;;\;1\,[$. Ceci prouve que $\phi(x)$ est constante sur $]\,0\;;\;1\,[$.