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EXERCICE I

1) Originales :

$$\begin{array}{\vert*{6}{c\vert}} \hline \textrm{Image} & \frac{1}... ...\sin t) & \frac{\mathcal{U}(t)}{\sqrt{3}}\sin(t\sqrt{3}) \\ \hline \end{array}$$

2) Images :

$$\begin{array}{\vert*{6}{c\vert}} \hline \textrm{Originale} & t\ma... ...+\frac{6}{x^{4}} & \frac{e^{-x}}{x^{2}}+\frac{e^{-x}}{x} \\ \hline \end{array}$$

La dernière image s'obtient par : $t\mathcal{U}(t-1)=(t-1)\mathcal{U}(t-1)+\mathcal{U}(t-1)$

et en appliquant le théorème du retard à chacun des deux termes obtenus.

EXERCICE III

1) On a tout d'abord : $\frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}$

L'originale de cette fonction est : $\left(1-e^{-t}\right)\mathcal{U}(t)$.

Celle de $\frac{e^{-p}}{p(p+1)}$ est donc $\left[1-e^{-(t-1)}\right]\mathcal{U}(t-1)$.

2) On a de même : $\frac{1}{p^{2}(p+1)}= \frac{1}{p^{2}}-\frac{1}{p}+\frac{1}{p+1}$

Son originale est : $t\mathcal{U}(t)-\mathcal{U}(t)+e^{-t}\mathcal{U}(t)= \left(t-1+e^{-t}\right)\mathcal{U}(t)$

Celle de : $\frac{e^{-p}}{p^{2}(p+1)}$ est donc : $\left[t-2+e^{-(t-1)}\right]\mathcal{U}(t-1)$

3) Courbe :

La transformée de Laplace, appliquée à l'équation différentielle, donne alors, puisque $y(0)=0$ :

$$Y(p)=\frac{1-e^{-p}}{p^{2}(p+1)}\Longrightarrow y(t)=(t-1+e^{-t})\mathcal{U}(t)-(t-1)\mathcal{U}(t-1)$$

EXERCICE IV

1) Valeurs des réponses : $(1)=205,\quad ab=249,\quad abc=231$

2) Modèle théorique : $y=y_{0}+\sum\limits_{0<i}e_{i}x_{i}+ \sum\limits_{0<i<j}e_{ij}x_{i}x_{j}+ \sum\limits_{0<i<j<k}e_{ijk}x_{i}x_{j}x_{k}$

3) Matrice M

$$M=\left[ \begin{array}{*{8}{c}} +1 & -1 & -1 & +1 & -1 & +1 & +1 ... ... -1 & +1 & -1 \\ +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1 & +1 \\ \end{array}\right]$$

Moyennant quoi on a la relation : $R=ME$

4) On a : $\tilde{M}M=8I\Longrightarrow M^{-1}=\frac{1}{8}\tilde{M}$

D'autre part : $R=ME\Longrightarrow E=M^{-1}R$. Il en résulte $E=\frac{1}{8}\tilde{M}R$

5) Transposonschaque membre : $\tilde{E}=\frac{1}{8}\tilde{R}M$

6) L'application de la formule précédente donne :

$$\begin{array}{l@{\ =\ }l@{\ =\ }l} y_{0}&\frac{+205+199+207+249+1... ...}&200 \\ e_{ABC}&\frac{-205+199+207-249+175-161-173+231}{8}& 3 \\ \end{array}$$

7) La moyenne des trois mesures est 200, leurs variance déchantillon est donc :

$$s^{2}=\frac{(199-200)^{2}+(200-200)^{2}+(201-200)^{2}}{3-1}=1$$

Si le rapport $\frac{8e_{AC}^{2}}{s^{2}}$ est inférieur à $\textrm{F}_{1,2}(0,05)$ alors on admet l'hypothèse selon laquelle $e_{AC}$ est non significatif au risque de 0,05. Comme c'est le cas, on peut accepter cette hypothèse, à plus forte raison au risque de 1%.

En raisonnant de même, on constate est néligeable au risque de 1% (affirmation faible) mais significatif au risque de 5% (affirmation faible).