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EXERCICE I

1) Table de vérité :

$$\begin{array}{\vert*{9}{c\vert}} \hline (x,y,z) & (0,0,0) & (0,0,... ...\ \hline \bar{f}(x,y,z) & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

2) Equation $f(x,y,z)=1$.

Les solutions de cette équation sont les triplets $(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(1,1,0)$, on le constate directement sur la table de vérité.

3) Simplification de $f(x,y,z)$ :

$$x\bar{y}\bar{z}+xy\bar{z}+\bar{x}yz+\bar{x}y\bar{z}= x\bar{z}(y+\bar{y})+\bar{x}z(y+\bar{y})= x\bar{z}+\bar{x}z$$

L'utilisation de la table de vérité abouit à l'égalité :

$$\overline{f}(x,y,z)=\bar{x}\bar{y}\bar{z}+\bar{x}y\bar{z}+ x\bar{y}z+xyz$$

EXERCICE II

1) On a tout d'abord : $\sin x = x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3})$

En fait le $o(x^{3})$ est un $o(x^{4})$. Il en résulte alors que l'on peut prolonger la fonction par continuité en 0 en lui donnant la valeur 1. On démontre ensuite qu'elle est dérivable en 0 et que cette dérivée est nulle.

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})$$

Au voisinage de 0, la fonction est la somme d'une constante et d'un infiniment petit négatif d'ordre 2. La courbe admet donc une tangente d'équation $y=1$ et elle est située sous la tangente au voisinage du point d'abscisse nulle.

D'autre part, $\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)= \ln\left(1-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2})\right)$

En développant le logarithme à l'ordre 1, on aura un développement à l'ordre 2 :

$$\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)= -\frac{x^{2}}{6}+ x^{2}\epsilon(x)$$

On en tire aussitôt : $\frac{1}{x^{2}}\ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)= -\frac{1}{6}+\epsilon(x)$ La limite en 0 de cette expression est donc -1/6.

EXERCICE III

1) Domaine d'existence de l'intégrale :

Le polynôme $t^{2}+2t+2$ a un discriminant égal à -4, il ne s'annule donc pour aucune valeur de t. Le rapport $\frac{1}{t^{2}+2t+2}$ est défini et continu sur $\mathbb{R}$, donc intégrable sur n'importe quel intervalle borné. Donc $I(b)$ existe quel que soit b dans $\mathbb{R}$.

2) Calcul de l'intégrale :

$$I(x)=\int\limits_{0}^{x}\frac{dt}{t^{2}+2t+2}= \int\limits_{0}^{x... ...\int\limits_{1}^{x+1}\frac{du}{u^{2}+1}= \textrm{arctg} (x+1)-\frac{\pi}{4}$$

3) Calcul de l'intégrale généralisée : $\lim\limits_{u\to+\infty} \textrm{arctg} u = \frac{\pi}{2}$

On en tire $\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{dt}{t^{2}+2t+2}= \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

EXERCICE IV

1) Le domaine $\mathcal{D}$ est le triangle ayant pour sommets las points B'(0,-1), B(0,+1), A(1,0).

2) Calcul de l'intégrale : $I=\iint\limits_{\mathcal{D}}(x+y) dxdy= \int\limits_{0}^{1}\left[ \int\limits_{x-1}^{-x+1} (x+y) dy \right] dx$

Calculons $\int\limits_{x-1}^{-x+1} (x+y) dy$.

On intègre par rapport à y entre deux bornes opposées. L'intégrale du terme en y est donc nulle et il reste :

$\int\limits_{x-1}^{-x+1} x dy=x(-2x+2)=-2x^{2}+2x$.

D'où $I=\int\limits_{0}^{1}(-2x^{2}+2x) dx =-\frac{2}{3}+1=\frac{1}{3}$.

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