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EXERCICE I

1) Différentielle de $f(u)$

a) Posons $v = f(u)$. On en tire : $v = (u+1)^{2}\Longrightarrow dv = 2(u+1)du$

b) Expression en fonction de x

$$u=\frac{x+1}{x-1}\Longrightarrow du=\frac{-2\,dx}{(x-1)^{2}}\Longrightarrow dv=\frac{-8\,dx}{(x-1)^{3}}$$

2) Différentielle de $g(x,y)$ : Posons $z=(x^{2}+y^{2})\cos2x^{3}$. On a aussitôt :

$dz=d(x^{2}+y^{2})\cos2x^{3}+(x^{2}+y^{2})d(\cos2x^{3})$

$\Longrightarrow dz=2(xdx+ydy)\cos2x^{3}-6x^{2}(x^{2}+y^{2})\sin2x^{3}dx$

EXERCICE II

1) Mise sous forme exponentielle :

$z_{1}=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2} =\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i\right) =\sqrt{2}\exp\left(-i\frac{\pi}{6}\right)=ij^{2}$

Par ailleurs, on a : $z_{2}=1-i=\sqrt{2}\exp\left(-i\frac{\pi}{4}\right)$

2) On en tire alors : $\frac{z_{1}}{z_{2}}= \exp\left[i\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)\right]= \exp\left(i\frac{\pi}{12}\right)= \cos\frac{\pi}{12}++i\sin\frac{\pi}{12}$

D'autre part, $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{\sqrt{6}-i\sqrt{2}}{2(1-i)}= \frac{\sqrt{2}}{2}\,\frac{\sqrt{3}-i}{1-i}= \frac{\sqrt{3}+1+i(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}$

On en tire : $\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} \qquad\textrm{et}\qquad \cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$

3) Résolution de l'équation :

$\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)\cos x + \left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)\sin x = 2 \iff$

$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\cos x + \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\sin x = \frac{1}{2} \iff \cos\frac{\pi}{12}\cos x + \sin\frac{\pi}{12}\sin x =\frac{1}{2}$

$\iff \cos\left(x-\frac{\pi}{12}\right)=\frac{1}{2}\iff x-\frac{\pi}{12}=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi$

Puisqu'on résoud l'équation sur $]-\pi\;;\;\pi]$, il n'y a que deux solutions :

$$x \in \left\lbrace -\frac{\pi}{4}\;;\;\frac{5\pi}{12} \right\rbrace$$

EXERCICE III

La division euclidienne donne aussitôt :

$$2x^{5}-3x^{4}+2x^{3}-5x+1= (x^{2}-x+1)(2x^{3}-x^{2}-x)-5x+1$$

EXERCICE IV

$P(x)-6$ est un polynôme du troisième degré divisible par $x-1$, $x-2$ et $x-3$. Il est donc de la forme $a(x-1)(x-2)(x-3)$, on en tire :

$$P(x)-6=a(x-1)(x-2)(x-3)\Longrightarrow P(0)-6=-6a\Longrightarrow 18-6=-6a \Longrightarrow a=-2$$

Il en résulte : $P(x)=-2(x-1)(x-2)(x-3)+6=-2x^{3}+12x^{2}-22x+18$.

EXERCICE V

1) On a immédiatement : $\left(\sqrt{3}\right)^{6}=3^{3}=27$

2) Résolution de l'équation $27Z^{3}+1=0$.

Il suffit de connaître les racines 6 ièmes de -1 pour répondre. Or celles-ci sont les racines carrées des trois racines cubiques de -1.

Ce nombre étant son propre cube, il suffit de prendre ses racines carrées qui sont $i$ et $-i$. On obtient par ailleurs toutes les racines sixièmes à partir de l'une d'entre elle par mutiplication par $\exp\left(i\frac{\pi}{3}\right)=-j^{2}$

Puisque $i$ est une racine sixième de -1, ls racines sixièmes de -1 sont

$$i, -ij^{2}, ij,-i,ij^{2},-ij$$

Il en résulte que :

$$27Z^{6}+1=0 \iff Z^{6}=\frac{1}{27}(-1)\iff Z\sqrt{3} \in \lbrace i, -ij^{2}, ij,-i,ij^{2},-ij\rbrace$$

3) Factorisation dans $\mathbb{C}$. D'après les précédents calculs, on a :

$$27Z^{6}+1=(Z\sqrt{3}-i)(Z\sqrt{3}+i) (Z\sqrt{3}-ij^{2})(Z\sqrt{3}+ij) (Z\sqrt{3}-ij)(Z\sqrt{3}+ij^{2})$$

4) Factorisation en polynômes réels : on regroupe les facteurs dont les constantes sont conjuguées :

$$(Z\sqrt{3}-ij)(Z\sqrt{3}+ij^{2})=3Z^{2}+2Z\sqrt{3}\Re(ij^{2})+1= 3Z^{2}+3Z+1$$

De même, on a :

$$(Z\sqrt{3}+ij)(Z\sqrt{3}-ij^{2})=3Z^{2}+2Z\sqrt{3}\Re(ij)+1= 3Z^{2}-3Z+1$$

D'où on tire : $27z^{6}+1=(3Z^{2}+1)(3z^{2}+3Z+1)(3z^{2}-3Z+1)$

5) -1 n'est pas solution de l'équation, on peut diviser chaque membre par $z+1$ et poser $Z=\frac{z-1}{z+1}$, ce qui donne ausitôt $Z\sqrt{3} \in \lbrace i, -ij^{2}, ij,-i,ij^{2},-ij\rbrace$, ce qui donne 6 relations de la forme $z=\frac{\sqrt{3}+a}{\sqrt{3}-a}$ où a est l'une quelconque des racines 6ièmes de -1. On obtient ainsi : $27(z-1)^{6}+(z+1)^{6}=0$

$\iff z \in \left\lbrace \frac{\sqrt{3}+i}{\sqrt{3}-i}, \frac{\sqrt{3}-ij^{2}}{... ...sqrt{3}-i}{\sqrt{3}+i}, \frac{\sqrt{3}+ij^{2}}{\sqrt{3}-ij^{2}}, \right\rbrace$

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